斐波那契数列有什么用

斐波那契数列有什么用
斐波那契数列有什么用

斐波那契数列有什么用
斐波那契数列与黄金分割关系
黄金分割是我们在生活中接触得比较多的数学美学问题,有了它生活的色彩就更显多彩:建筑师们早就懂得使用黄金分割比了.在公元前3000年建成的埃及法老胡夫的金字塔和公元前432年建成的雅典帕特农神庙就采用了这个神奇之比,因此它的整个结构以及它与外界的配合是那样的和谐美观.我们现在的窗户大小,一般都按黄金分割比制成.在艺术领域里更是神奇.众所周知的维纳斯女神像,她优美的身段可说是完美无缺,而她上下身的比正是黄金分割比.芭蕾舞演员顶起脚尖,正是为了使人体的上下身之比更符合黄金比.在1483年左右完成的"圣久劳姆"画,作画的外框长方形也符合这个出色的黄金分割比.像二胡,提琴这样的弦乐器,当乐师们把它们的码子放在黄金分割比的分点上时,乐器发出的声音是最动人美丽的.
"黄金比"的精确值是0.61803398874989484820458683436564 学习过一元二次方程的同学都会解方程x^2-x-1=0,它的一个正根是.这个数就是黄金分割比.
数列 前项比后项 与黄金分割的差的绝对值
1 1.000000000000000000 0.381966011250105152
2 0.500000000000000000 0.118033988749894848
3 0.666666666666666667 0.048632677916771819
5 0.600000000000000000 0.018033988749894848
8 0.625000000000000000 0.006966011250105152
13 0.615384615384615385 0.002649373365279464
21 0.619047619047619048 0.001013630297724199
34 0.617647058823529412 0.000386929926365436
55 0.618181818181818182 0.000147829431923334
89 0.617977528089887640 0.000056460660007208
144 0.618055555555555556 0.000021566805660707
233 0.618025751072961373 0.000008237676933475
377 0.618037135278514589 0.000003146528619741
610 0.618032786885245902 0.000001201864648947
987 0.618034447821681864 0.000000459071787016
1597 0.618033813400125235 0.000000175349769613
2584 0.618034055727554180 0.000000066977659331
4181 0.618033963166706530 0.000000025583188319
6765 0.618033998521803400 0.000000009771908552
10946 0.618033985017357939 0.000000003732536909
17711 0.618033990175597087 0.000000001425702238
28657 0.618033988205325051 0.000000000544569797
46368 0.618033988957902001 0.000000000208007153
75025 0.618033988670443186 0.000000000079451663
121393 0.618033988780242683 0.000000000030347835
196418 0.618033988738303007 0.000000000011591841
317811 0.618033988754322538 0.000000000004427689
514229 0.618033988748203621 0.000000000001691227
832040 0.618033988750540839 0.000000000000645991
1346269 0.618033988749648102 0.000000000000246747
2178309 0.618033988749989097 0.000000000000094249
3524578 0.618033988749858848 0.000000000000036000
5702887 0.618033988749908599 0.000000000000013751
9227465 0.618033988749889596 0.000000000000005252
14930352 0.618033988749896854 0.000000000000002006
24157817 0.618033988749894082 0.000000000000000766
39088169 0.618033988749895141 0.000000000000000293
63245986 0.618033988749894736 0.000000000000000112
102334155 0.618033988749894891 0.000000000000000043
165580141 0.618033988749894832 0.000000000000000016
267914296 0.618033988749894854 0.000000000000000006
433494437 0.618033988749894846 0.000000000000000002
发现规律没有?
奇数项与偶数项的比值大于黄金分割数,偶数项与奇数项的比值小于黄金分割数
An/(An+1)当n趋向于无穷大时等于黄金分割比
好象还可以证明
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几何的谬误与斐波那契数列
如果一个正方形的边长是由两个连续的斐波那契数的和构成,那么它将使我们想起一个有趣的几何谬误．
例如：
1）用连续的两个斐波那契数5和8．
2）构成一个 13×13正方形．
3）如上图左剪开,并如上图右拼合．现在计算正方形与矩形的面积,会发现正方形面积要比矩形面积大1个单位．
4）对斐波那契数8,21和34进行同样的步骤．这种情形下矩形面积要比正方形面积大1个单位．
这一个单位的盈缺,将在正方形面积与矩形面积之间交错出现,是盈或是缺有赖于我们所用的是哪两个连续的斐波那契数
13^2=8×21+1,8^2=5×13-1
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斐波那契数列与自然
斐波那契数列在实际生活中有非常广泛而有趣的应用.除了动物繁殖外,植物的生长也与斐波那契数有关.数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝,然后休息一年.再在下一年又长出一条新枝,并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝.那么,第1年它只有主干,第2年有两枝,第3年就有3枝,然后是5枝、8枝、13枝等等,每年的分枝数正好是斐波那契数.
生物学中所谓的“鲁德维格定律”,也就是斐波那契数列在植物学中的应用.
另外,观察延龄草,野玫瑰,南美血根草,大波斯菊,金凤花,耧斗菜,百合花,蝴蝶花的花瓣.可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3,5,8,13,21……
斐波那契螺旋
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
这些植物懂得斐波那契数列吗?应该并非如此,它们只是按照自然的规律才进化成这样.这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当,不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉.叶子的生长方式也是如此,对于许多植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来,而不是一下子同时出现的）,每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度,这个角度称为“黄金角度”,因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数,而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生.向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89,甚至144条.
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斐波那契数列的应用问题
1．爬楼梯问题:
上楼梯的时候,如果允许每次跨一蹬或二蹬,那么对于楼梯数为1,2,3,4,…时的上楼方式数会有什么关系吗
楼梯蹬数
上楼方式
方法数
1
1
1
2
1+1,2
2
3
1+1+1,1+2,2+1
3
4
1+1+1+1,1+1+2,1+2+1,2+1+1,2+2
5
5
1+1+1+1+1,1+1+1+2,1+1+2+1,1+2+1+1,2+1+1+1,
2+2+1,2+1+2,1+2+2
8
6
1+1+1+1+1+1,1+1+1+1+2,1+1+1+2+1,1+1+2+1+1,
1+2+1+1+1,2+1+1+1+1,2+2+1+1,2+1+2+1,
2+1+1+2,1+2+2+1,1+2+1+2,1+1+2+2,2+2+2
13
理论上说明:若登层阶梯有种方法,设第一步一层,则其余层的方法为种;若第一步二层,则其余层的方法为种;即登层阶梯的方法应有种.又因应登一层阶梯的方法只有一种;登两层的阶梯有两种方法(一步一层或一步两层),所以显然这是一个斐波那契数列的应用问题.
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……
2.座位问题:
师生集合坐一排,但老师们坐在一起总会聊些有关学校的无聊话题,因此规定老师彼此不可相邻而坐,若有不同数目的椅子,则有多少种可能的坐法 (这同样是斐波那契数列的应用问题)
理论上说明:若只有一张椅子,可坐老师(T)或学生(S),共有两种坐法=>;若有二张椅子,可坐TS,ST,SS,共有三种坐法=>;若有n张椅子,可考虑n-1张椅子的情形下,最右边再加入一张椅子,如果最后坐的是学生则没有问题,有种坐法;如果最后坐的是老师,则最后两张坐的必定要是ST才符合条件,因此最后两张已经固定,相当于有种坐法,于是,斐波那契数列又再度出现.