在四边形ABCD中,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N:(1)如图1,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论;(2)若在AB上取一点E,连结DE,CE,恰好△ADE和△BCE都是等边三角形(如图2)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 15:39:41
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在四边形ABCD中,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N:(1)如图1,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论;(2)若在AB上取一点E,连结DE,CE,恰好△ADE和△BCE都是等边三角形(如图2)
在四边形ABCD中,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N:
(1)如图1,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论;
(2)若在AB上取一点E,连结DE,CE,恰好△ADE和△BCE都是等边三角形(如图2):
①判断此时四边形PQMN的形状,并证明你的结论;
②当AE=6,EB=3,求此时四边形PQMN的周长(结果保留根号).
在四边形ABCD中,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N:(1)如图1,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论;(2)若在AB上取一点E,连结DE,CE,恰好△ADE和△BCE都是等边三角形(如图2)
1、连接AC,BD
∵AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N
∴PN=1/2BD,MQ=1/2BD
MN=1/AC,PQ=1/2AC
∴PN=MQ,MN=PQ
∴PQMN为平行四边形
2、①连接AC、BD
∵△ADE和△BCE都是等边三角形
∴BE=CE,DE=AE
∠AED=∠BEC=60°
∴∠AED+∠DCE=∠DCE+∠BEC
即∠AEC=∠DEB
∴△AEC≌△DEB(SAS)
∴AC=BD
∵AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N
∴PN=1/2BD,MQ=1/2BD
MN=1/AC,PQ=1/2AC
∴PN=MQ=MN=PQ
∴PQMN菱形
②做CH⊥BE于H,
∵△BCE是等边三角形,那么BH=EH=1/2BE=3/2
∴CH²=BC²-BH²=3²-(3/2)²=27/4
AH=AE+EH=6+3/2=15/2
∴AC²=AH²+CH²=(15/2)²+27/4=252/4=63
AC=3√7
∴PN=MQ=MN=PQ=1/2AC=3√7/2
∴四边形PQMN的周长=4PN=4×3√7/2=6√7