定积分∫1-0 ln(1+x)/(1+x^2)dx

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 10:26:18
定积分∫1-0 ln(1+x)/(1+x^2)dx
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定积分∫1-0 ln(1+x)/(1+x^2)dx
定积分∫1-0 ln(1+x)/(1+x^2)dx

定积分∫1-0 ln(1+x)/(1+x^2)dx
∫[ln(1+x)/(1+x²)]dx=∫[ln(1+tanz)/(1+tan²z)]*sec²zdz (令x=tanz)
=∫ln(1+sinz/cosz)dz
=∫ln[(sinz+cosz)/cosz]dz
=∫[ln(sinz+cosz)-ln(cosz)]dz
=∫ln(sinz+cosz)dz-∫ln(cosz)dz
=∫ln[√2sin(z+π/4)]dz-∫ln(cosz)dz
=∫ln(√2)dz+∫ln[sin(z+π/4)]dz-∫ln(cosz)dz
=(π/4)ln(√2)+∫ln[sin(π/2-y)]d(-y)-∫ln(cosz)dz
(在第二个积分中,令z=π/4-y)
=πln2/8+∫ln(cosy)dy-∫ln(cosz)dz
=πln2/8+∫ln(cosz)dz-∫ln(cosz)dz
(在第一个积分中,令z=y)
=πln2/8

先做变量替换x=tant，t从0到pi/4，然后利用三角函数的变换消掉一部分积分就行。
=积分（从0到pi/4）ln【(sint+cost)/cost】dt
=积分（从0到pi/4）【ln根号(2)+lnsin(t+pi/4)--lncost】dt 对第二项做变量替换t+pi/4=y
=pi*ln2/8+积分（从pi/4到pi/2）lnsintdt---积分（从0到pi/...

全部展开

先做变量替换x=tant，t从0到pi/4，然后利用三角函数的变换消掉一部分积分就行。
=积分（从0到pi/4）ln【(sint+cost)/cost】dt
=积分（从0到pi/4）【ln根号(2)+lnsin(t+pi/4)--lncost】dt 对第二项做变量替换t+pi/4=y
=pi*ln2/8+积分（从pi/4到pi/2）lnsintdt---积分（从0到pi/4）lncostdt
对第二项做变量替换t=pi/2--x，会发现最后两项抵消掉了
=pi*ln2/8

收起

求定积分.ln(x+1)ln(1-x) 在【0,1】上的定积分. 高数 定积分 计算定积分∫[0→1]lnx ln(1-x)dx 定积分∫ ln(√1+x^2+x)dx 求定积分∫ln[x+√(x²+1）] dx x属于[0,2] ∫ [ln(1+x)/1+x~2]dx从0-1的定积分? 定积分∫1-0 ln(1+x)/(1+x^2)dx 计算定积分∫(1~-0)ln(1+x)/(2-x)^2.dx 求ln(1+x^2)*x的定积分 定积分∫上限e－1,下限0 ln(x+1)dx 怎么求? 计算定积分∫(0,e-1)ln(x+1)dx 利用级数求定积分的值∫(0到1)lnx*ln(1-x)dx 求∫ln(1-x)/xdx在0到1的定积分. ∫[e-1~0]ln√(x+1)dx求定积分 求定积分 ∫[1,e] lnx/x *dx,∫[1,e] (ln x/x)*dx 定积分∫ （-1/4到1/4）ln[（1-x)/(1+x)]dx= 求定积分:∫ ln(1+tanx)dx (o≤x≤π/4)求定积分:∫ln(1+tanx)dx (o≤x≤π/4) 定积分∫ln(1+根号x)/(1+根号x)dx 计算定积分 ∫ x ln(1+e^x) dx （上限2下限-2）