∫e^(-x^2)dx=√π,用二重积分怎么证明有助于回答者给出准确的答案

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 02:56:24
∫e^(-x^2)dx=√π,用二重积分怎么证明有助于回答者给出准确的答案
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∫e^(-x^2)dx=√π,用二重积分怎么证明
有助于回答者给出准确的答案

∫e^(-x^2)dx=√π,用二重积分怎么证明有助于回答者给出准确的答案
∫e^(-x^2)dx=∫e^(-y^2)dy
而∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy
=∫∫e^(-y^2)*e^(-x^2)dxdy
=∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy
然后是用极坐标换元,x=rcosa,y=rsina r属于[0,无穷大),a属于[0,2π]
=∫∫re^(-r^2)drda (r属于[0,无穷大),a属于[0,2π])
=∫(0,2π)da*∫re^(-r^2)dr r属于[0,无穷大),
=2π* 1/2*∫e^(-r^2)dr^2 r属于[0,无穷大),
=π* ∫-de^(-r^2) r属于[0,无穷大),
=π*[e^(-0^2)-lime^(-r^2)] r→无穷大
=π*(1-0)
=π
∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy=π=[∫e^(-x^2)dx]^2
易知∫e^(-x^2)dx>0
所以∫e^(-x^2)dx=√π

积分区域是全空间，略去不写。
(∫e^(-x^2)dx)^2
=(∫e^(-x^2)dx)(∫e^(-y^2)dy)
=∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy
做极坐标变换x=rcost,y=rsint带人得
∫∫e^(-r^2)rdrdt (r从0积到正无穷，t从0积到2π)
这个积分可以分离变量，再令z=-r^2即可。

∫e^(-x^2)dx=√π,用二重积分怎么证明有助于回答者给出准确的答案 计算二重积分 ∫dy∫e^(-x^2)dx 求二重积分∫(1/2—1)dy∫(y—√y)e^(y/x)dx 求二重积分∫(0,2)dx∫(x,2)e^(-y^2)dy 计算二重积分∫[1,3]dx∫[x-1,2]e^( y^2) dy 计算二重积分：∫[0,1]dx∫[0,x^½]e^(-y²/2)dy 二重积分√(0→2π)dθ∫(0→√2)x^3√(1+x^2)dx ∫e^x^2dx,从x^2到0的定积分.这是属于二重积分吗？ ∫(0,1)e^x^2dx怎么做已经构造了二重积分了,但是再用二重积分转换为极坐标的时候,就化不出极坐标了. 交换下列二重积分的次序I=∫(1,e)dy∫(0,lnx)f(x,y)dx怎么求解 ∫(0,1)dx∫(x,1)e^x/ydy的二重积分 ∫ e^x-e^(-x)dx=e^x+e^(-x)|=e+1/e-2 设L为逆时针方向的圆周x^2y^2=9则曲线积分∫L（e^(x-y)+xy）dx+(siny+e^(x-y))dy=?利用二重积分的对称性 ∫L（-e^(x-y)+xy）dx+(siny+e^(x-y))dy 为什么无缘无故的在前面加了一个符号?希望解释清楚些 而且∫ 已知∫[0,+∞]x^(-1/2)e^(-x)dx=√π,求I=∫[-∞,∞]x^2e^(-x^2)dx要步骤 ∫dx/√[1-e^(-2x)] ∫[e^x^2 dx]=? d∫e^-x^2dx= ∫(e^2x )dx=?