证明1+1/2+1/3+...+1/nln(x+1),1+1/2+1/3+1/4+...+1/n>ln(n+1)这是已知的啊,要证明的在题目上证明1+1/2+1/3+...+1/n
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/17 20:22:34
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证明1+1/2+1/3+...+1/nln(x+1),1+1/2+1/3+1/4+...+1/n>ln(n+1)这是已知的啊,要证明的在题目上证明1+1/2+1/3+...+1/n
证明1+1/2+1/3+...+1/nln(x+1),
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n>ln(n+1)
这是已知的啊,要证明的在题目上证明1+1/2+1/3+...+1/n
证明1+1/2+1/3+...+1/nln(x+1),1+1/2+1/3+1/4+...+1/n>ln(n+1)这是已知的啊,要证明的在题目上证明1+1/2+1/3+...+1/n
将ln(n+1)看作和式:
ln(n+1)=[ln(n+1)-lnn]+[lnn-ln(n-1)]+...+[ln2-ln1]
由拉格朗日中值定理:ln(k+1)-lnk=1/x_k(k+1-k)=1/x_k(“_”后面的是下标),其中x_k介于k和k+1之间.
于是有:
ln(n+1)=[ln(n+1)-lnn]+[lnn-ln(n-1)]+...+[ln2-ln1]=1/x_n+1/x_(n-1)+...+1/x_1
利用k1/(n+1)+1/n+...+1/2
所以ln(n+1)+2>(1/n+...+1/2+1)+1+1/(n+1)>1/n+...+1/2+1得证.
ln(n+1)=[ln(n+1)-lnn]+[lnn-ln(n-1)]+...+[ln2-ln1]
设f(x)=ln(1+x)+1/(1+x)-1,f'(x)>0,f(x)单调递增,f(0)=0,所以f(x)>0,
f(1/n)>0,所以,ln(n+1)-ln(n)+n/(n+1)-1>0
即:ln(n+1)>1/(n+1)+1/n+...+1/2
所以ln(n+1)+2>(1/n+...+1/2+1)+1+1/(n+1)>1/n+...+1/2+1