等比数列｛An｝的公比q,前n项和为Sn；1：若S5、S15、S10成等差数列,求证：2S5、S10、S20－S10成等比数列.2：若2S5、S10、S20－S10成等比数列,试问：S5、S15、S10是否成等差数列?请说明理由.

等比数列｛An｝的公比q,前n项和为Sn；1：若S5、S15、S10成等差数列,求证：2S5、S10、S20－S10成等比数列.2：若2S5、S10、S20－S10成等比数列,试问：S5、S15、S10是否成等差数列?请说明理由.
等比数列｛An｝的公比q,前n项和为Sn；1：若S5、S15、S10成等差数列,求证：2S5、S10、S20－S10成等比数列.2：若2S5、S10、S20－S10成等比数列,试问：S5、S15、S10是否成等差数列?请说明理由.

等比数列｛An｝的公比q,前n项和为Sn；1：若S5、S15、S10成等差数列,求证：2S5、S10、S20－S10成等比数列.2：若2S5、S10、S20－S10成等比数列,试问：S5、S15、S10是否成等差数列?请说明理由.
（1）首项是a1,公比是q
S5+S10=2S15
(S中都乘有一项a1/1-q,由于等式两边都有在此略去!)
(1-q^5)+(1-q^10)=2(1-q^15)
q^5(2q^10-q^5+1)=0
∵q≠0
∴2q^10-q^5+1=0
∴q^5=1或-1/2
当q^5=1即q=1时
显然2S5=S10=S20-S10
成等比数列
当q^5=-1/2时
2S5(S20-S10)=2q^10(1-q^5)(1-q^10)=3/4*3/4=9/16
S10^2=(1-q^10)²=9/16
∴2S5(S20-S10)=S10^2
所以2S5,S10,S20-S10成等比数列.
（2）
当数列公比为1时,数列为常数列,设首项为a(a≠0),则每项都为a,此时2S5=10a,S10=10a,S20-S10=20a-10a=10a(依题意,构成等比数列)；
S5=10a,S15=15a,S10=10a,很明显,2S15≠S5+S10
所以S5,S15,S10不构成等差数列；
当数列公比不为1时,设等比数列的通项公式为an=aq^(n-1)　
前n项和Sn=a(1-q^n)/(1-q),得：
2S5=2a(1-q^5)/(1-q)；S10=a(1-q^10)/(1-q)；S20=a(1-q^20)/(1-q);
分析,上面的2S5、S10、S20-S10均含有a/(1-q)项,故在解题过程中省略
S10/2S5=(1-q^10)/2(1-q^5)=(1-q^5)(1+q^5)/2(1-q^5)=(1+q^5)/2
(S20-S10)/S10=[(1-q^20)-(1-q^10)]/(1-q^10)=(q^10-q^20)/(1-q^10)=q^10
2S5、S10、S20-S10成等比数列,则(1+q^5)/2=q^10
解得q^5=1或q^5＝-1/2 (q^5=1可以推出q=1,不合题设,舍)
∴q^5＝-1/2
此时：(注意,以下的s5,s15,s10均含有a/(1-q)这个项,为计算方便,舍之)
S15=a(1-q^15)/(1-q)=1-q^15=1-(-1/2)^3=9/8
S5=1-q^5=1-(-1/2)=3/2; S10=1-q^10=1-(-1/2)^2=5/4
2S15=9/4；S5+S10=(3/2)+(5/4)=11/4
很明显,2S15≠S5+S10
所以,S5,S15,S10也不构成等差数列；

看起来好麻烦