已知a、b、c、d为正数,且m=a²+b²,n=c²+d²,求证:mn可以表示成两整数平方和的形式

已知a、b、c、d为正数,且m=a²+b²,n=c²+d²,求证:mn可以表示成两整数平方和的形式
已知a、b、c、d为正数,且m=a²+b²,n=c²+d²,求证:mn可以表示成两整数平方和的形式

已知a、b、c、d为正数,且m=a²+b²,n=c²+d²,求证:mn可以表示成两整数平方和的形式
已知a、b、c、d为正数(应为整数,不然没法证）
证明：
m*n=(a^2+b^2)*(c^2+d^2)
=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2
=a^2c^2+2abcd+b^2c^2+a^2d^2-2abcd+b^2d^2
=(a^2c^2+2abcd+b^2d^2)+(a^2d^2-2abcd+b^2c^2)
=(ac+bd)^2+（ad-bc)^2

mn=(a²+b²)*(c²+d²)
=a²c²+b²d²+a²d²+b²c²
=(a²c²+b²d²+2abcd-2abcd)+(a²d²+b²c²+2abcd-2abcd)
=(ac+bd)²-2bcd+(ad+bc)²-2abcd
=(ac+bd)²+(ad+bc)²