已知数列{an}中,a1=1,an乘a(n+1)=(1/2)^n(n∈N*),记T2n为{an}的前2n项和①设bn=a2n,证明：数列{bn}是等比数列②求T2n③不等式64T2n乘a2n≤3(1-ka2n)对一切n∈N*恒成立,求实数k的最大值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 08:43:29
已知数列{an}中,a1=1,an乘a(n+1)=(1/2)^n(n∈N*),记T2n为{an}的前2n项和①设bn=a2n,证明：数列{bn}是等比数列②求T2n③不等式64T2n乘a2n≤3(1-ka2n)对一切n∈N*恒成立,求实数k的最大值
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已知数列{an}中,a1=1,an乘a(n+1)=(1/2)^n(n∈N*),记T2n为{an}的前2n项和①设bn=a2n,证明：数列{bn}是等比数列②求T2n③不等式64T2n乘a2n≤3(1-ka2n)对一切n∈N*恒成立,求实数k的最大值
已知数列{an}中,a1=1,an乘a(n+1)=(1/2)^n(n∈N*),记T2n为{an}的前2n项和
①设bn=a2n,证明：数列{bn}是等比数列
②求T2n
③不等式64T2n乘a2n≤3(1-ka2n)对一切n∈N*恒成立,求实数k的最大值

已知数列{an}中,a1=1,an乘a(n+1)=(1/2)^n(n∈N*),记T2n为{an}的前2n项和①设bn=a2n,证明：数列{bn}是等比数列②求T2n③不等式64T2n乘a2n≤3(1-ka2n)对一切n∈N*恒成立,求实数k的最大值
①an×a(n+1)=(1/2)^n,a(n-1)×an=(1/2)^(n-1)
两式相除,得：a(n+1)/a(n-1)=1/2,那么a(n+2)/an=1/2
而bn=a2n,b(n+1)=a(2n+2),所以b(n+1)/bn=a(2n+2)/a2n=1/2,为常数
而b1=a2=(1/2)÷a1=1/2,所以数列{bn}是以1/2为首项、1/2为公比的等比数列
②bn=(1/2)^n (n∈N+),其前n项和Bn=1/2×[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=1-(1/2)^n
令cn=a(2n-1),同理可得cn是以c1=a1=1为首项、1/2为公比的等比数列,
cn=(1/2)^(n-1),其前n项和Cn=1×[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=2-(1/2)^(n-1)
所以T2n=Bn+Cn=1-(1/2)^n+2-(1/2)^(n-1)
=3-3×(1/2)^n
③64T2n×a2n≤3(1-kan),a2n=bn=(1/2)^n
那么64×[3-3×(1/2)^n]×(1/2)^n≤3[1-k×(1/2)^n]
化简,得：k≤(2^n)+64×(1/2)^n-64,对于一切n∈N+恒成立
那么k要小于等于(2^n)+64×(1/2)^n-64的最小值
而(2^n)+64×(1/2)^n-64≥(2√64)-64=-48 (当且仅当(2^n)=64×(1/2)^n,即n=3时取等)
所以k≤-48,即实数k的最大值为-48

①an×a(n+1)=(1/2)^n，a(n-1)×an=(1/2)^(n-1)
两式相除，得：a(n+1)/a(n-1)=1/2，那么a(n+2)/an=1/2
而bn=a2n，b(n+1)=a(2n+2)，所以b(n+1)/bn=a(2n+2)/a2n=1/2，为常数
而b1=a2=(1/2)÷a1=1/2，所以数列{bn}是以1/2为首项、1/2为公比的等比数列

全部展开

①an×a(n+1)=(1/2)^n，a(n-1)×an=(1/2)^(n-1)
两式相除，得：a(n+1)/a(n-1)=1/2，那么a(n+2)/an=1/2
而bn=a2n，b(n+1)=a(2n+2)，所以b(n+1)/bn=a(2n+2)/a2n=1/2，为常数
而b1=a2=(1/2)÷a1=1/2，所以数列{bn}是以1/2为首项、1/2为公比的等比数列
②bn=(1/2)^n (n∈N+)，其前n项和Bn=1/2×[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=1-(1/2)^n
令cn=a(2n-1)，同理可得cn是以c1=a1=1为首项、1/2为公比的等比数列，
cn=(1/2)^(n-1)，其前n项和Cn=1×[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=2-(1/2)^(n-1)
所以T2n=Bn+Cn=1-(1/2)^n+2-(1/2)^(n-1)
=3-3×(1/2)^n
③64T2n×a2n≤3(1-kan)，a2n=bn=(1/2)^n
那么64×[3-3×(1/2)^n]×(1/2)^n≤3[1-k×(1/2)^n]

收起

一个等差数列问题已知数列{an} 中,a1=-1,a(n+1)乘an=a(n+1)-an,则通项an=? 已知数列｛an｝中,a(n+1)=an+2^n,a1=3,求an 已知数列{An}中,A1=1,A(n+1)=An/(1+2An),求An 已知数列｛an｝中a1=1/2,a(n+1)=(2an)/(4an+3),求an. 已知数列{an}中,a1=1/2,an+1+3an=0,an=( ) 已知数列{an}中a1=1,an+1=3an/an +3,求通项公式 已知数列{an}中,a1=1,an+1=100an²,求通项an 已知数列an中,a1=1,an+1=an+n,求an 已知数列{an}中满足(An+1-An)(An+1+An)=16,且a1=1,an 已知数列{a}中a1=1,an+1=an+2,求an?为什么a3-a2=2².已知数列{a}中a1=1,an+1=an+2,求an?为什么a3-a2=2². 已知数列an中,a1=2,a（n+1）=1/2•an+1/2,求通项an 已知数列an中,a1=2,a（n+1）=1/2•an+1/2,求通项an 已知数列{an}中,a1=1,a(n+1)=an/2an+3,则a5= 已知数列{an}中,a1=1,an=2a(n-1)+1,求{an}的通项公式 已知数列an中,a1=1,a(n+1)=3an+2^n,求通项公式an 已知在数列An中,A1=2 A(n+1)=An+n 求An的通项公式 已知在数列{an}中,a1=2,an=3a[(n-1)](下标）-2,求an 已知数列{An}中a1=1.且A(n+1)=6n*2^n-An.求通项公试An 已知数列an中,a1=-1,a(n+1)*an=a(n+1)-an,则数列通项公式an=?