求函数y=3x+4√(1- x²﹚﹙0≤x≤1)的最小值和最大值

求函数y=3x+4√(1- x²﹚﹙0≤x≤1)的最小值和最大值
求函数y=3x+4√(1- x²﹚﹙0≤x≤1)的最小值和最大值

求函数y=3x+4√(1- x²﹚﹙0≤x≤1)的最小值和最大值
设x=Cosθ θ∈(0,π/2)
y=3Cosθ+4Sinθ=5Sin(θ+α) Tanα=3/4

设x=sint ( 0=< t=<π/2)
y=3sint+4cost=5(3/5sint+4/5cost)=5sin(t+a) cosa=3/5
当t+a=π/2 即 t=π/2-arccos3/5时取最大值5
当t= 0即 取最小值5sina=4

令x=sint
则有√(1- x²﹚=cost
y=3sint+4cost=5sint(t+a), 其中 tana=4/3
因此最大值为5， 最小值为-5

y'=3-4x/√(1- x²)，y‘＞0，0≤x＜3/5时，函数y=3x+4√(1- x²﹚增函数；y'＜0，3/5＜x≤1时，函数y=3x+4√(1- x²﹚减函数；y'=0时，x=3/5时，函数y=3x+4√(1- x²﹚有最大值5，当x=1时，有最小值3。