求函数y=3x+4√(1- x²﹚﹙0≤x≤1)的最小值和最大值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/28 12:54:54
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求函数y=3x+4√(1- x²﹚﹙0≤x≤1)的最小值和最大值
求函数y=3x+4√(1- x²﹚﹙0≤x≤1)的最小值和最大值
求函数y=3x+4√(1- x²﹚﹙0≤x≤1)的最小值和最大值
设x=Cosθ θ∈(0,π/2)
y=3Cosθ+4Sinθ=5Sin(θ+α) Tanα=3/4
设x=sint ( 0=< t=<π/2)
y=3sint+4cost=5(3/5sint+4/5cost)=5sin(t+a) cosa=3/5
当t+a=π/2 即 t=π/2-arccos3/5时取最大值5
当t= 0即 取最小值5sina=4
令x=sint
则有√(1- x²﹚=cost
y=3sint+4cost=5sint(t+a), 其中 tana=4/3
因此最大值为5, 最小值为-5
y'=3-4x/√(1- x²),y‘>0,0≤x<3/5时,函数y=3x+4√(1- x²﹚增函数;y'<0,3/5<x≤1时,函数y=3x+4√(1- x²﹚减函数;y'=0时,x=3/5时,函数y=3x+4√(1- x²﹚有最大值5,当x=1时,有最小值3。