帮忙解答两道高一数学题,要详细过程,谢谢!1.对于函数（1）探索函数f（x）的单调性；（2）是否存在函数a使函数f (x)为奇函数?2.求证：（1）[g(x)]²-[f(x)]²=1(2)f(2x)=2f(x)·g(x)(3)g(2x)=[g(x)]

帮忙解答两道高一数学题,要详细过程,谢谢!1.对于函数（1）探索函数f（x）的单调性；（2）是否存在函数a使函数f (x)为奇函数?2.求证：（1）[g(x)]²-[f(x)]²=1(2)f(2x)=2f(x)·g(x)(3)g(2x)=[g(x)]
帮忙解答两道高一数学题,要详细过程,谢谢!

1.对于函数

（1）探索函数f（x）的单调性；

（2）是否存在函数a使函数f (x)为奇函数?

2.

求证：

（1）[g(x)]²-[f(x)]²=1

(2)f(2x)=2f(x)·g(x)

(3)g(2x)=[g(x)]²+[f(x)]²

帮忙解答两道高一数学题,要详细过程,谢谢!1.对于函数（1）探索函数f（x）的单调性；（2）是否存在函数a使函数f (x)为奇函数?2.求证：（1）[g(x)]²-[f(x)]²=1(2)f(2x)=2f(x)·g(x)(3)g(2x)=[g(x)]
（1）探索函数f（x）的单调性:
由单调函数的定义易证函数y=-2/(2^x+1)在（-∞,+∞）上单调递增,（证明：略）
又把函数y=-2/(2^x+1)的图象平移|a|个单位（a>0时向上平移,a<0时向下平移）,
可得函数f(x)=a-2/(2^x+1)的图象,
即
a仅影响相关函数图象上、下平移多少,并不影响相关函数的单调性.
∴函数f(x)=a-2/(2^x+1)在（-∞,+∞）上单调递增.如图

 
　　（2）是否存在实数a使函数f (x)为奇函数?
　　存在实数a=1,使函数f (x)=1-2/(2^x+1)为奇函数.如上图,（证明：略）
 
　　2.（1）由f(x)=[e^x-e^(-x)]/2,g(x)=[e^x+e^(-x)]/2.
　　得
　　[f(x)]²={[e^x-e^(-x)]/2}²=[e^2x-2+e^(-2x)]/4,
　　[g(x)]²={[e^x+e^(-x)]/2}²=[e^2x+2+e^(-2x)]/4,
　　∴[g(x)]²-[f(x)]²={[e^2x+2+e^(-2x)]/4}-[e^2x-2+e^(-2x)]/4=(1/2)+(1/2)=1
　　（2）又f(2x)=[e^2x-e^(-2x)]/2,g(2x)=[e^2x+e^(-2x)]/2.
　　而2f(x)g(x)=2{[e^x-e^(-x)]/2}[e^x+e^(-x)]/2=[e^2x-e^(-2x)]/2.
　　∴f(2x)=2f(x)·g(x)
　　（3）同样
　　g(2x)=[e^2x+e^(-2x)]/2.
　　[g(x)]²+[f(x)]²={[e^2x+2+e^(-2x)]/4}+[e^2x-2+e^(-2x)]/4)=[e^2x+e^(-2x)]/2.
　　∴g(2x)=[g(x)]²+[f(x)]²

1.函数f(x)=a-2/(2^x+1)的定义域是R，
(1)设x1则f(x1)-f(x2)=a-2/(2^x1+1)-a+2/(2^x2+1)
=2(2^x1-2^x2)/[(2^x2+1)(2^x1+1)]
∵x1∵2^x2+1>0，2^x1+1>0，
∴f(x1)-f(x2)=2(2^x1-2^x2...

全部展开

1.函数f(x)=a-2/(2^x+1)的定义域是R，
(1)设x1则f(x1)-f(x2)=a-2/(2^x1+1)-a+2/(2^x2+1)
=2(2^x1-2^x2)/[(2^x2+1)(2^x1+1)]
∵x1∵2^x2+1>0，2^x1+1>0，
∴f(x1)-f(x2)=2(2^x1-2^x2)/[(2^x2+1)(2^x1+1)]<0，即f(x1)故f(x)=a-2/(2^x+1)在R上是增函数。
(2)若f(x)是奇函数，则f(x)+f(-x)=0，
a-2/(2^x+1)+a-2/[2^(-x)+1]=0
a=1/(2^x+1)+1/[2^(-x)+1]=1/(2^x+1)+2^x/(1+2^x)=1，
∴当a=1时，f(x)=1-2/(2^x+1)=(2^x-1)/(2^x+1)是奇函数。

2.∵f(x)=[e^x-e^(-x)]/2，g(x)=[e^x+e^(-x)]/2
(1)[g(x)]²-[f(x)]²=)=[e^(2x)+2+e^(-2x)]/4-[e^(2x)-2+e^(-2x)]/4
=4/4=1，
(2)f(2x)=[e^(2x)-e^(-2x)]/2=[e^x-e^(-x)][e^x+e^(-x)]/2
=2[e^x-e^(-x)][e^x+e^(-x)]/4
=2f(x)g(x)，
(3)[g(x)]²+[f(x)]²=[e^(2x)+2+e^(-2x)]/4+[e^(2x)-2+e^(-2x)]/4
=[e^(2x)+e^(-2x)]/2=g(2x)。

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