若复数z满足arg(z+4)=π/6,则|z|的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 16:07:34
![若复数z满足arg(z+4)=π/6,则|z|的最小值](/uploads/image/z/1910449-1-9.jpg?t=%E8%8B%A5%E5%A4%8D%E6%95%B0z%E6%BB%A1%E8%B6%B3arg%28z%2B4%29%3D%CF%80%2F6%2C%E5%88%99%7Cz%7C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC)
xT_oP*$&M)I'e%{i&3H0
h&+ӏw(my+xPy_l{~Ο-(i'{
U!WR:N[-Yq[1פ?7
J/ 5b r\>8T9l$Y/4I[;u-镠ѿB(D@MH5rpì`JmT,y%4
S㐾;4^gᎪK>
<'{εWF͞ӎ{fo87
?ϾRTx8t4\T̉(Fn%Z(oPJWA$dXmy;ց
rqPC'LYT)H ¯Wir{ČHK]%%7}b#ݞcĪiNߗ_ |~CĤ=zZʤY̶yKAt<~晖6/:`ct6)=/vJKRj3{ԙƏ78$l$͕
p# ɱۂ5oBlW;e8e&.^[r&h
若复数z满足arg(z+4)=π/6,则|z|的最小值
若复数z满足arg(z+4)=π/6,则|z|的最小值
若复数z满足arg(z+4)=π/6,则|z|的最小值
z+4=r(cosπ/6+isinπ/6)
z=(√3/2r-4)+ir/2
|z|²=((√3/2r-4)²+r²/4
=r²-4√3r+16
=(r-2√3)²+4>=4
|z|>=2
最小值是2
【【【注:该题涉及到幅角主值,最好用“向量知识”。】】
可设向量z=(x,y), (x, y∈R)
又设向量a=(-4,0)
易知,z+4的意义,就是两个向量z,与a的差。
即:z+4=z-a=(x,y)-(-4,0)=(x+4, y)
由arg(z+4)=π/6可知,点(x+4, y)在射线L上,
射线L的端点是原点,且...
全部展开
【【【注:该题涉及到幅角主值,最好用“向量知识”。】】
可设向量z=(x,y), (x, y∈R)
又设向量a=(-4,0)
易知,z+4的意义,就是两个向量z,与a的差。
即:z+4=z-a=(x,y)-(-4,0)=(x+4, y)
由arg(z+4)=π/6可知,点(x+4, y)在射线L上,
射线L的端点是原点,且与x轴的正方向夹角为30º。
∴y/(x+4)=tan30º=(√3)/3
∴(√3)y=x+4.===>3y²=(x+4)²
|z|²=x²+y²=x²+[(x+4)²/3]
=(4x²+8x+16)/3
=[(2x+2)²+12]/3
=[(2x+2)²/3]+4
即恒有:|z|²=[(2x+2)²/3]+4≥4
∴|z|≥2
∴最小值=2
收起