求通项公式an=2a(n-1)+2^n+1 请看清题后面的 +1 是在外面的,不是(n+1) 前面的(n+1)是角标。a1=5
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/08 10:40:11
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求通项公式an=2a(n-1)+2^n+1 请看清题后面的 +1 是在外面的,不是(n+1) 前面的(n+1)是角标。a1=5
求通项公式an=2a(n-1)+2^n+1
请看清题后面的 +1 是在外面的,不是(n+1) 前面的(n+1)是角标。a1=5
求通项公式an=2a(n-1)+2^n+1 请看清题后面的 +1 是在外面的,不是(n+1) 前面的(n+1)是角标。a1=5
an=2a(n-1)+2^n+1
a(n-1)=2a(n-2)+2^(n-1)+1
两式相减:
an-a(n-1)=2[a(n-1)-a(n-2)]+2^(n-1)
设b(n-1)=an-a(n-1),b1=a2-a1=10
b(n-1)=2b(n-2)+2^(n-1)
两边除以2^(n-1):
b(n-1)/2^(n-1)=b(n-2)/2^(n-2)+1
bn/2^n=b1/2+n-1=n+4
bn=(n+4)2^n
an-a(n-1)=b(n-1)=(n+3)2^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=(n+2)2^(n-2)
……
a3-a2=6*2^2
a2-a1=5*2^1
叠加:
an-a1=(n+3)2^(n-1)+(n+2)2^(n-2)+……+6*2^2+5*2^1
2(an-a1)=(n+3)2^n+(n+2)2^(n-1)+(n+1)2^(n-2)+……+6*2^3+5*2^2
两式相减:
-(an-a1)=-(n+3)2^n+2^(n-1)+2^(n-2)+……+2^3+2^2+5*2^1
=-(n+3)2^n+2[2^(n-1)-1]+8
=-(n+3)2^n+2^n+6
=-(n+2)2^n+6
an=(n+2)2^n-1
an-a(n-1)=2[a(n-1)-a(n-2)]+2^n
两边除以2^n,有
[a(n+1)-an]/2^n=[an-a(n-1)]/2^(n-1)+1
令bn=[a(n+1)-an]/2^n,有
bn-b(n-1)=1,bn为公差为1的等差数列,有
bn=b1+n-1=(a1+5)/2+n-1=(a1+3)/2+n=[a(n+1)-an]/2^n
解得
an=(n+a1/2-1/2)*2^n-1
a1=5
an=(n+2)*2^n-1