定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=1,则f(1)+f(2)+f(3)……f(2009)的值为

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定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=1,则f(1)+f(2)+f(3)……f(2009)的值为
定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=1,则f(1)+f(2)+f(3)……f(2009)的值为

定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=1,则f(1)+f(2)+f(3)……f(2009)的值为
等于-1
根据奇函数性质,f(0)=0
根据关于直线x=1对称性质,f(2)=f(0)=0
根据奇函数性质,f(-2)=-f(2)=0
根据关于直线x=1对称性质,f(4)=f(-2)=0
根据奇函数性质,f(-4)=-f(4)=0
根据关于直线x=1对称性质,f(6)=f(-4)=0
可见当x为偶数时,f(x)=0
由题意,f(-1)=1
根据奇函数性质,f(1)=-f(-1)=-1
根据关于直线x=1对称性质,f(3)=f(-1)=1
不难得出,当x为奇数时,f(x)=1或者-1,交替出现
最后出现的一个是f(2009),很明显f(2009)=-1,前面的2008个全部抵消掉了
故而最终结果就是-1

f(x+2)=f(-x)=-f(x)
f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
故f(2008)=f(2006)=...=f(0)=0
f(2009)=f(2005)=...=f(1)=-f(-1)=-1
f(2007)=f(2003)=...=f(3)=f(-1)=1
原式=1

全部展开

因为关于1对称，所以到1距离相等的点的函数值相等。
f(1-x)=f(1+x)
f(x)=f(2-x)
f(-x)=f(2+x)
f(x)=-f(x+2)
f(x+2)=-f(x+4)
f(x)=f(x+4)[f(x)以4为周期循环]
f(1)=-f(-1)=1
f(2)=f(2-4)=f(-2)，而f(2)=-f(2)，所以f(2)=0
f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-1
f(4)=f(0+4)=f(0)=0
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0
而f(1)=f(5)=f(9)=……f(2005)
f(2)=……=f(2006)
f(3)=……=f(2007)
f(4)=……=f(2008)
f(2009)=f(1)=1
所以原式=1

收起

-1