已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y属于R均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x大于0对任意x,y属于R均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x大于0,都有f(x)小于0,f(3)=-3.讨论函数f(x)的单调性急呐
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 06:04:13
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已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y属于R均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x大于0对任意x,y属于R均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x大于0,都有f(x)小于0,f(3)=-3.讨论函数f(x)的单调性急呐
已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y属于R均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x大于0
对任意x,y属于R均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x大于0,都有f(x)小于0,f(3)=-3.
讨论函数f(x)的单调性
急呐
已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y属于R均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x大于0对任意x,y属于R均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x大于0,都有f(x)小于0,f(3)=-3.讨论函数f(x)的单调性急呐
单调递减
首先证明f(x)是奇函数.
因为f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),可知f(0)=0.
那么f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),
这就证明了f(x)是奇函数.
下面证它是减函数:
设x2>x1,那么x2-x1>0,
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
根据条件“对任意x大于0,都有f(x)小于0”可知
f(x2-x1)
令任意的x1>x2,那么f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),又x1-x2>0
所以f(x1-x2)<0
所以f(x)在R上为减函数
令x=y=0,则有:f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0;
令x=-y,则有f(0)=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x);
又定义域为R,故f(x)为奇函数!
∴只需要讨论x>0的情况!
令y=△x>0,则有f(x+△x)-f(x)=f(△x)<0对x+△x>x成立,
故函数为减函数!...
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令x=y=0,则有:f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0;
令x=-y,则有f(0)=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x);
又定义域为R,故f(x)为奇函数!
∴只需要讨论x>0的情况!
令y=△x>0,则有f(x+△x)-f(x)=f(△x)<0对x+△x>x成立,
故函数为减函数!
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