作业帮求1/（x*（3x^2-2x-1）^1/2）的不定积分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 17:34:16
求1/（x*（3x^2-2x-1）^1/2）的不定积分
求1/（x*（3x^2-2x-1）^1/2）的不定积分
求1/（x*（3x^2-2x-1）^1/2）的不定积分
换元：(1 + x) / √(3x^2 - 2x - 1) = t (1)
对(1)平方得到：(x^2 + 2x + 1) / (3x^2 - 2x - 1) = t^2 => t^2 + 1 = 4 * x^2 / (3x^2 - 2x - 1) (2)
对(1)两边同时微分并且化简得到：-4x / (3x^2 - 2x - 1)^(3/2) dx = dt =>
dx = - (3x^2 - 2x - 1)^(3/2) / (4x) dt (3)
原积分 = ∫ 1 /（x*（3x^2-2x-1）^1/2）dx 将(3)代入
= - ∫ 1 /（x*（3x^2-2x-1）^1/2）* (3x^2 - 2x - 1)^(3/2) / (4x) dt
= - ∫ (3x^2 - 2x - 1) / (4 * x^2) dt 将(2)代入
= - ∫ 1 / (1 + t^2) dt
= - arctan t + C 将(1)代入
= - arctan( (1 + x) / √(3x^2 - 2x - 1) ) + C
其中,C为任意常数.
令x = 1/t，dx = - 1/t² dt
= ∫ 1/x * 1/√(3x² - 2x - 1) dx
= ∫ t * 1/√[3(1/t)² - 2(1/t) - 1] * (- 1/t²) dt
= ∫ (- 1/t) * 1/√(3/t² - 2/t - 1) dt
= - ∫ 1/√(3 - 2t - ...
全部展开
令x = 1/t，dx = - 1/t² dt
= ∫ 1/x * 1/√(3x² - 2x - 1) dx
= ∫ t * 1/√[3(1/t)² - 2(1/t) - 1] * (- 1/t²) dt
= ∫ (- 1/t) * 1/√(3/t² - 2/t - 1) dt
= - ∫ 1/√(3 - 2t - t²) dt
= - ∫ 1/√[4 - (t + 1)²] dt
= - arcsin[(t + 1)/2] + C
= - arcsin[(1/x + 1)/2] + C
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