作业帮19,如图,若圆x2+y2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0有两个交点P,Q,O为坐标原点,且OP⊥OQ,（1）求PQ中点的坐标 （2）求C的值.我是这么做的：我的问题是：这种题计算量很大,考试时间有限,怎么用最简单的方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/02 11:28:04
19,如图,若圆x2+y2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0有两个交点P,Q,O为坐标原点,且OP⊥OQ,（1）求PQ中点的坐标 （2）求C的值.我是这么做的：我的问题是：这种题计算量很大,考试时间有限,怎么用最简单的方
19,如图,若圆x2+y2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0有两个交点P,Q,O为坐标原点,且OP⊥OQ,
（1）求PQ中点的坐标 （2）求C的值.
我是这么做的：
我的问题是：这种题计算量很大,考试时间有限,怎么用最简单的方法做?
19,如图,若圆x2+y2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0有两个交点P,Q,O为坐标原点,且OP⊥OQ,（1）求PQ中点的坐标 （2）求C的值.我是这么做的：我的问题是：这种题计算量很大,考试时间有限,怎么用最简单的方
以下的解法可能对你有启发.
（1）
∵P、Q都在直线x＋2y－3＝0上,∴可令P、Q的坐标分别为（3－2m,m）、（3－2n,n）.
联立：x^2＋y^2＋x－6y＋c＝0、x＋2y－3＝0,消去x,得：
（3－2y）^2＋y^2＋（3－2y）－6y＋c＝0,
∴9－12y＋4y^2＋y^2＋3－2y－6y＋c＝0, ∴5y^2－20y＋12＋c＝0.
显然,m、n是方程5y^2－20y＋12＋c＝0的根,∴由韦达定理,有：m＋n＝20/5＝4,
∴（m＋n）/2＝2.
由中点坐标公式,PQ的中点N的纵坐标＝（m＋n）/2＝2.
令x＋2y－3＝0中的y＝2,得：x＝3－2y＝3－2×2＝－1,∴点N的横坐标＝－1.
∴PQ的中点坐标是（－1,2）.
（2）
很明显,向量OP＝（3－2m,m）、向量OQ＝（3－2n,n）.
∵OP⊥OQ,∴向量OP·向量OQ＝0,∴（3－2m）（3－2n）＋mn＝0,
∴9－6（m＋n）＋5mn＝0.······①
∵m、n是方程5y^2－20y＋12＋c＝0的根,∴由韦达定理,有：m＋n＝4、mn＝（12＋c）/5.
将m＋n＝4、mn＝（12＋c）/5代入到①中,得：9－6×4＋（12＋c）＝0,∴c＝3.