作业帮已知函数f(x)=x3-3ax2-bx,其中a,b为实数,若f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且b=9a,求a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 21:38:09
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已知函数f(x)=x3-3ax2-bx,其中a,b为实数,若f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且b=9a,求a的取值范围
已知函数f(x)=x3-3ax2-bx,其中a,b为实数,若f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且b=9a,求a的取值范围
已知函数f(x)=x3-3ax2-bx,其中a,b为实数,若f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且b=9a,求a的取值范围
第一步,求导 f'(x)=3x2-6ax-b;
第二步,由于题目要求a的取值范围,而b=9a,故将此式代入,得f'(x)=3x2-6ax-9a,也即f'(x)=3(x2-2ax-3a);
第三步,由于f(x)在区间[-1,2]为减函数,故有f'(x)0,即a0 ①
f(-1)
把 b=9a代入函数；
f（x）=x^3+3ax^2-9ax;
f(x)=x(x^2+3ax-9a)；
f（x）过原点（0,0）；
然后因为fx（-1,2]递减，所以在区间（-1,0）f（x）一定单调递减；
需要注意，在区间（-1,0）此时x是负数，所以此时函数f（x）除以x后得到一个二次函数是递增的，即，只要考虑f（x）除以x后的新函数（先设为g（x）），...
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把 b=9a代入函数；
f（x）=x^3+3ax^2-9ax;
f(x)=x(x^2+3ax-9a)；
f（x）过原点（0,0）；
然后因为fx（-1,2]递减，所以在区间（-1,0）f（x）一定单调递减；
需要注意，在区间（-1,0）此时x是负数，所以此时函数f（x）除以x后得到一个二次函数是递增的，即，只要考虑f（x）除以x后的新函数（先设为g（x））， g（x）=x^2+3ax-9a在区间（-1,0）上是递减的，这样可以求出一个x的范围。
然后再考虑x在区间（0,2]上的时候，g（x）=x^2+3ax-9a递增；根据这个又可以求出一个a的范围；
（因为函数的连续性，x=0时，f（x）=0；这个只要说明一下就可以了，不说也没关系的，在没有特别条件的情况下三次函数默认为连续的就可以了）
将两次求得的x的范围取交集就可以了。
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