将边长为a的正方形白铁片,在它的四角各剪去一个小正方形.然后弯折成一个无盖的盒子.问:剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?保证准确度,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/31 17:44:22
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将边长为a的正方形白铁片,在它的四角各剪去一个小正方形.然后弯折成一个无盖的盒子.问:剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?保证准确度,
将边长为a的正方形白铁片,在它的四角各剪去一个小正方形.然后弯折成一个无盖的盒子.问:剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?
保证准确度,
将边长为a的正方形白铁片,在它的四角各剪去一个小正方形.然后弯折成一个无盖的盒子.问:剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?保证准确度,
设减去小正方形边长为x
则底面边长为a-2x,高为x
容积=(a-2x)(a-2x)x
=1/4 * (a-2x)(a-2x)(4x)
<=1/4 * (2a/3)^3
=a^3 *2/27
当且仅当a-2x=4x,即x=a/6时等号成立
因此小正方形边长为a/6时容积最大
设剪去的小正方形边长为X,则制作的盒子的长宽高均为(a-2
x,x的取值范围是大于0小于2分之a)盒子的体积为a-2x的立方
设函数F=(a-2x)的立方
显然,当x=四分之a时F最大,
设剪去的边长是x
则容积V=(a-2x)(a-2x)x 其中0
后半部分 由均值不等式,得到:(a-2x)(a-2x)*4x <= [(a-2x+a-2x+4x)/3]^3 = (8a^3)/27
等号在a-2x=x,x=a/3时得到
因此V[max] = 1/4 * 8/27 * a^3=(2/27)*a^3
将边长为a的正方形白铁片,在它的四角各剪去一个小正方形。然后弯折成一个无盖的盒子。问:剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?
设剪去的正方形的边长为x,那么无盖盒子的体积
y=x(a-2x)²=x(a²-4ax+4x²)=a²x-4ax²+4x³
令dy/dx=a²-8ax+12x²=...
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将边长为a的正方形白铁片,在它的四角各剪去一个小正方形。然后弯折成一个无盖的盒子。问:剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?
设剪去的正方形的边长为x,那么无盖盒子的体积
y=x(a-2x)²=x(a²-4ax+4x²)=a²x-4ax²+4x³
令dy/dx=a²-8ax+12x²=(2x-a)(6x-a)=0,得驻点x₁=a/2; x₂=a/6.
显然,x₁=a/2是极小点,因为此时y=0; x₂=a/6是极大点,
极大值maxy=y(a/6)=(a/6)[a-2×(a/6)]²=2a³/27
收起
V=(a-2x)*(a-2x)*x,a>2x,再求导就行了,令导函数=0,解得x,就OK了,注意x的范围。