作业帮离散数学数理逻辑的一个题目某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C.已知在且仅在下述四种情况下灯亮： （1）C的扳键向上,A,B的扳键向下. （2）A的扳键向上,B,C的扳键向下. （3）B,C的扳键向
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 16:00:00
离散数学数理逻辑的一个题目某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C.已知在且仅在下述四种情况下灯亮： （1）C的扳键向上,A,B的扳键向下. （2）A的扳键向上,B,C的扳键向下. （3）B,C的扳键向
离散数学数理逻辑的一个题目
某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C.已知在且仅在下述四种情况下灯亮：
（1）C的扳键向上,A,B的扳键向下.
（2）A的扳键向上,B,C的扳键向下.
（3）B,C的扳键向上,A的扳键向下.
（4）A,B的扳键向上,C的扳键向下.
设F为1表示灯亮,p,q,r分别表示A,B,C的扳键向上.
（a）求F的主析取范式.
（b）在联结词完备集{┐,∧}上构造F.
（c）在联结词完备集{┐,→, }上构造F.
离散数学数理逻辑的一个题目某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C.已知在且仅在下述四种情况下灯亮： （1）C的扳键向上,A,B的扳键向下. （2）A的扳键向上,B,C的扳键向下. （3）B,C的扳键向
设扳上用字母ABC表示,扳下用否定表示.
(a)(┐A∧┐B∧C)∨(A∧┐B∧┐C)∨(┐A∧B∧C)∨(A∧B∧┐C)
(b)
记(┐A∧┐B∧C)=P,
(A∧┐B∧┐C)=Q,
(┐A∧B∧C)=R,
(A∧B∧┐C)=S,
由于P∨Q=┐(┐P∧┐Q),所以
P∨Q∨R∨S
=┐(┐P∧┐Q)∨R∨S
=┐(┐(┐(┐P∧┐Q))∧┐R)∨S
=┐((┐P∧┐Q)∧┐R)∨S
=┐(┐(┐((┐P∧┐Q)∧┐R))∧┐S)
=┐(((┐P∧┐Q)∧┐R)∧┐S)
=┐(┐P∧┐Q∧┐R∧┐S).
(c)由于P∧Q=┐(P→┐Q),
所以┐(┐P∧┐Q∧┐R∧┐S)
=┐(┐P∧┐Q∧┐R∧┐S)
=┐(┐(┐P→Q)∧┐R∧┐S)
=┐(┐(┐(┐P→Q)→R)∧┐S)
=┐(┐(┐(┐(┐P→Q)→R)→S))
其中,
P=(┐A∧┐B∧C)=(┐(┐(┐A→┐B)→┐C)),
Q=(A∧┐B∧┐C)=(┐(┐(A→┐B)→C)),
R=(┐A∧B∧C)=(┐(┐(┐A→┐B)→┐C)),
S=(A∧B∧┐C)=(┐(┐(A→┐B)→C)).
[这都是因为(P∧Q∧R)=(┐(P→┐Q)∧R)=(┐(┐(P→┐Q)→┐R)).]