作业帮高中空间几何证明题 求助
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 13:28:35
高中空间几何证明题 求助
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证明：∵面PAB⊥面ABC,面PAC⊥面ABC,AE⊥面PBC,E为垂足,为⊿PBC的垂心
延长PE交BC于D,则PD⊥BC,AE⊥BC
∴BC⊥面PAD
连接AD,则AD⊥BC
假设⊿ABC不为直角三角形,即∠BAC≠π/2
则AD^2≠BD*DC （在直角三角形中,斜边上的高为垂足分斜边二部分的比例中项）
∴AD不垂直于BC
显然与前述结论矛盾
∴⊿ABC一定是直角三角形
过P点作PP`⊥平面ABC交平面ABC于P`。
这里证明P`必定∈平面PAB。反证法，假设P`不∈平面PAB。
由于平面PAB⊥平面ABC，所以必定存在平面PAB内的向量a⊥平面ABC，那么也必定可以通过平移得到一个平面PAB内的过P点的向量b⊥平面ABC。
因为PP`⊥平面ABC及b⊥平面ABC，并且由假设,PP`≠b.所以PP`∥b。两个过同一点的向量平行，不可能。矛盾...
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过P点作PP`⊥平面ABC交平面ABC于P`。
这里证明P`必定∈平面PAB。反证法，假设P`不∈平面PAB。
由于平面PAB⊥平面ABC，所以必定存在平面PAB内的向量a⊥平面ABC，那么也必定可以通过平移得到一个平面PAB内的过P点的向量b⊥平面ABC。
因为PP`⊥平面ABC及b⊥平面ABC，并且由假设,PP`≠b.所以PP`∥b。两个过同一点的向量平行，不可能。矛盾。所以PP`=b，P`∈平面PAB。
同理，PP`∈平面PAC。所以P`∈（平面PAB∩平面PAC∩平面ABC），所以P`=A。即PA⊥平面ABC。
所以PA⊥AB。
延长BE交CP于F。因为E为垂心，所以BF⊥CP。
又因为AE⊥平面PCB，所以CP⊥AE。
综上两排：CP⊥AE且CP⊥BF，所以CP⊥平面ABF，所以CP⊥AB。
那么AB⊥CP且AB⊥PA，所以AB⊥平面PAC。所以AB⊥AC。所以RT三角形。
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