作业帮数列 如何用递推公式求通项在知道首项,递推公式的情况下,怎样求通项?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 19:29:16
数列 如何用递推公式求通项在知道首项,递推公式的情况下,怎样求通项?
数列 如何用递推公式求通项
在知道首项,递推公式的情况下,怎样求通项?
数列 如何用递推公式求通项在知道首项,递推公式的情况下,怎样求通项?
具体题目要具体分析,通常使用的是3种方法:
1)数学归纳法:就是先列出一些项,再猜出通项,再证明,这种方法是最基本的
2)待定系数法:可以根据递推公式的特点构造一些辅助的等差或者等比或者一些其他容易解的数列(当然如果会特征方程的方法的话,可以根据特征根来用待定系数法,那样解题目就很简单了,当然一般的数列题目都可以用特征根的方法解)
3)不动点法:这种方法一般高考不要求掌握,当然这种方法适用于解一些特殊的递推公式很好用,不过如果考到这,一般就是难题目
通常这类题目首先看递推公式是否符合不动点里的那几个特定模式,不符合的话,一般考虑第二种解法,再解不出来,那就只有用数归法了,这样应付高考基本没问题了,当然不排除有很变态的题的情况
请参考:http://zhidao.baidu.com/question/85814449.html
例题:A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An （A后的括号代表下标）求通项An
引: 一般书上讲到特征(方程)根(值)法,发生函数(母函数,生成函数)法,差分方程法,大都只讲其然而不讲其所以然.其实,很容易理解的.
高中课程中,主要讲等差数列,等比数...
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请参考:http://zhidao.baidu.com/question/85814449.html
例题:A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An （A后的括号代表下标）求通项An
引: 一般书上讲到特征(方程)根(值)法,发生函数(母函数,生成函数)法,差分方程法,大都只讲其然而不讲其所以然.其实,很容易理解的.
高中课程中,主要讲等差数列,等比数列;复杂的问题,也通过转化为这两者来解决.我们可以看到,其递推式:An=A(n-1)+d;An=qA(n-1),均是一阶递推关系(阶数:即式中未知项的下标差),其一般形为An+xA(n-1)+y=0.
可以通过简单的转化,求得An+xA(n-1)+y=0型递推关系的解,即求得通项An.
对于二阶递推式,可以转化为一阶关系来求解.这正与我们研究二次方程时将它转化为两个一次方程一样.正鉴于此,人们在此基础上进一步总结,最后脱离了转化过程,象下围棋的定式一般,总结到了方法,得到了公式,于是就有了特征根法,等等.
解:
构造等式:
A(n+2)-xA(n+1)-y(A(n+1)-xAn)=0(***)
即:A(n+2)-(x+y)A(n+1)+xyAn=0
与A(n+2)+A(n+1)-2An＝0比较可知:
x,y是方程zz+z-2=0的两根.
(***)式说明:A(n+2)-xA(n+1)是公比为y的等比数列;
于是
A(n+1)-xAn=函数f(n)=y^(n-1)(A2-xA1) (###1)
再构造f(n)=g(n+1)-xg(n) ,从而取An=g(n).
另外,根据x,y的对称性, 可将(***)式等效转化为
A(n+2)-yA(n+1)-x(A(n+1)-yAn)=0(***)
也即:A(n+2)-yA(n+1)是公比为x的等比数列.
于是当x,y不等时,还可得到
A(n+1)-yAn=x^(n-1)(A2-yA1) (###2)
由###1,2两式可以方便地得到An.
下略.
在这里,我们可以总结出经验,
An形如ax^n+by^n,系数a,b除可由上面###1,2两式直接得到之外,
但我们既然已经知道了An形如ax^n+by^n
用初始两项A2=ax^2+by^2,A1=ax+by求得则更快.
这便是待定系数法了.
另请参见拙文:
由递推式求通项方法原理-广义fibonacci数列的通项求法
http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/f3ce1517f4f16c0ec83d6d7b.html
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