是否存在实数λ,使函数f(x)=x⁴+(2-λ)x²+2-λ在（-∞,2】上是减函数,且在【-1,0）上是增函数,若存在,求λ的取值范围,若不存在,说明理由.

是否存在实数λ,使函数f(x)=x⁴+(2-λ)x²+2-λ在（-∞,2】上是减函数,且在【-1,0）上是增函数,若存在,求λ的取值范围,若不存在,说明理由.
是否存在实数λ,使函数f(x)=x⁴+(2-λ)x²+2-λ在（-∞,2】上是减函数,且在【-1,0）上是增函
数,若存在,求λ的取值范围,若不存在,说明理由.

是否存在实数λ,使函数f(x)=x⁴+(2-λ)x²+2-λ在（-∞,2】上是减函数,且在【-1,0）上是增函数,若存在,求λ的取值范围,若不存在,说明理由.
存在
f(x)=x^4+(2-λ)x²+2-λ的导函数
f′(x)=4x³+2(2-λ)x=4x[x²+(2-λ)/2]
①当λ≤2时,f(x)只有一个极值点x=0,
f(x)在（－∞,0）上为减函数,在（0＋,∞）上为增函数,
与题意不符；
②当λ>2时,f′(x) =4x[x²-(λ-2)/2]=4x[x+√(λ-2)/2] [x-√(λ-2)/2]
∴f(x)的单调递减区间为（－∞,-√[(λ-2)/2] ）和[0,√(λ-2)/2] ）,
单调递增区间为（-√[(λ-2)/2],0）和（√[(λ-2)/2],＋∞）
要使函数f(x)在（－∞,－2]上为减函数,在[-1,0]上为增函数,
则需-2≤-√[(λ-2)/2] ≤-1,
解得4≤λ≤10,又λ>2,
∴4≤λ≤10,
综上,存在实数λ∈[4,10]满足题意.

首先纠正一下题目（-∞，2】应为 （0，2】

在定义域内取x1,x2;且规定x1<=x2;
做差： f(x2)-f(x1)=(x2)⁴-(x1)⁴+(2-λ)[(x2)²-(x1)²];
=[(x2)²-(x...

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首先纠正一下题目（-∞，2】应为 （0，2】

在定义域内取x1,x2;且规定x1<=x2;
做差： f(x2)-f(x1)=(x2)⁴-(x1)⁴+(2-λ)[(x2)²-(x1)²];
=[(x2)²-(x1)²]*[ (x2)²+(x1)²+2-λ].
(a). 在（0，2]上要求是减函数，故有 0 即 [(x2)²-(x1)²]*[ (x2)²+(x1)²+2-λ]<=0;
因为 x2>x1; 故而有 [(x2)²-(x1)²]>=0, 则 (x2)²+(x1)²+2-λ<=0;即 (x2)²+(x1)²<=λ-2
又 0<(x2)²+(x1)²<=8, 欲使 上不等式恒成立 则应 有 λ-2>=8,λ>=10; （1）.
(b).在[-1,0)上要求是增函数，则 0=0;
[(x2)²-(x1)²]*[ (x2)²+(x1)²+2-λ]>=0;
即 (x2)²+(x1)²+2-λ>=0;即 (x2)²+(x1)²>=λ-2
又 0<(x2)²+(x1)²<=2 ,欲使 上不等式恒成立 则应 有 λ-2<=2,λ>=4; (2)
综合 (1),(2) 得 λ>=10。
故存在。

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