数学尺规作图的难题任意三角形ABC 尺规作图 找点P 是三角形ABP ACP BCP 周长相等

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 12:37:17
数学尺规作图的难题任意三角形ABC 尺规作图 找点P 是三角形ABP ACP BCP 周长相等
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数学尺规作图的难题任意三角形ABC 尺规作图 找点P 是三角形ABP ACP BCP 周长相等
数学尺规作图的难题
任意三角形ABC 尺规作图 找点P 是三角形ABP ACP BCP 周长相等

数学尺规作图的难题任意三角形ABC 尺规作图 找点P 是三角形ABP ACP BCP 周长相等
任意三角形ABC 尺规作图 找点P 是三角形ABP ACP BCP 周长相等
作法：
1、作△ABC的内心（角平分线的交点）,设为O；
2、以O为圆心,在三角形外画大园⊙O；
3、分别双向延长△ABC的三条边,与⊙O分别相交.对应三个顶点分别为A1、A2、B1、B2、C1、C2；（对应的三条线段为A1ACC1、A2ABB22、B1BCC2,因为同园弦心距相等所以弦长相等,设长为L）
4、分别以A、B、C为圆心,以AA1、BB1、CC1为半径画园,设为⊙A、⊙B、⊙C,半径记为Ra、Rb、Rc；
5、若⊙A、⊙B、⊙C全部相交,则作三园的内公切园（证明中取-号）；否则,作三园的外公切园（证明中取+号）.（具体作法比较繁琐,必须单独讲解!如需要可联系）园心即为所求的P点.半径记为r.
6、连PA、PB、PC.
证明：
因为所作图形我不会上传（CAD绘制）,只能靠叙述了!
三角形的三条边双向延长后与⊙O相交,由于弦心距相等,所以三条弦的长度也相等,记为L.
PA=Ra±r；PB=Rb±r；PC=Rc±r（若内切圆取-号,若外切园取+号）
△PAB的周长=AB+PA+PB=（弦长L-Ra-Rb)+(Ra±r)+(Rb±r)=L±2r.
同理,△PBC、△PAC周长皆为L±2r.
证毕.
附后：因为最后作⊙P与三园相切时能作两个园,即同时有内公切圆也有外公切园,我分析有否多解的可能性,但没有证明上的依据,所以出现作法5中的叙述.是否正确也请您考虑!

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