高斯公式计算曲面积分……如何算?题目如下……算了N久啊

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/06 14:55:54
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∵在高斯公式中,令P=xz,Q=R=0.则αP/αx=z,αQ/αy=αR/αz=0
∴由高斯公式得 ∫∫xzdydz+∫∫xzdydz=∫∫∫(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz
(S表示xy平面上的圆域：x²+y²=1,V表示Σ+S的封闭半球体)
=∫∫∫zdxdydz
=∫dθ∫rdr∫zdz
(做柱面坐标变换)
=2π∫[(R²-r²)/2]rdr
=π(R^4/2-R^4/4)
=πR^4/4
∵∫∫xzdydz=0 (S圆域在yz平面上的投影区域是一条线段,则此积分等于零)
∴ ∫∫xzdydz=∫∫∫(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz-∫∫xzdydz
=πR^4/4-0
=πR^4/4.

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