已知函数f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-2),a>0,a不等于1,在R上是增函数,求实数a的取值范围

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 08:59:38
已知函数f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-2),a>0,a不等于1,在R上是增函数,求实数a的取值范围
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已知函数f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-2),a>0,a不等于1,在R上是增函数,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-2),a>0,a不等于1,在R上是增函数,求实数a的取值范围

已知函数f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-2),a>0,a不等于1,在R上是增函数,求实数a的取值范围
a^x-a^(-x)很容易证明是奇函数
奇函数在(-无穷大,0)与(0,+无穷大)上的单调性相同,所以只需讨论x>0时的情况
设x1>x2
分为3类讨论
1.0

求导 导数>0增 导数<0减
f(x)导数=a*[a^x*lna+a^(-x)lna]/(a^2-2)>0
[a*lna(a^2x+1)/a^x]/a^2-2>0
所以[a*lna(a^2x+1)/a^x]>0且a^2-2>0@1或者 [a*lna(a^2x+1)/a^x]<0且a^2-2<0@2 a^2x+1>0 a^x>0 a>0
解@1 @2得
...

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求导 导数>0增 导数<0减
f(x)导数=a*[a^x*lna+a^(-x)lna]/(a^2-2)>0
[a*lna(a^2x+1)/a^x]/a^2-2>0
所以[a*lna(a^2x+1)/a^x]>0且a^2-2>0@1或者 [a*lna(a^2x+1)/a^x]<0且a^2-2<0@2 a^2x+1>0 a^x>0 a>0
解@1 @2得
a>e且a>根号2 或 a1
答案a>e或者0答案可能有错 因为忘了 e 根号2谁大
看来根号2大
答案是
a>根号2或者0答案是
a>根号2或者0答案是
a>根号2或者0

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a^2-2>0时，a>√2，a^x是增函数，a^(-x)是减函数
所以a^x-a^(-x)是增函数，且a/(a^2-2)>0，所以f(x)是增函数
1所以a^x-a^(-x)是增函数，且a/(a^2-2)<0，所以f(x)是减函数
0所以a^x-a^(-x)...

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a^2-2>0时，a>√2，a^x是增函数，a^(-x)是减函数
所以a^x-a^(-x)是增函数，且a/(a^2-2)>0，所以f(x)是增函数
1所以a^x-a^(-x)是增函数，且a/(a^2-2)<0，所以f(x)是减函数
0所以a^x-a^(-x)是减函数，且a/(a^2-2)<0，所以f(x)是增函数
综上所书，a在a>√2,0

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按定义来:
取x1>x2是在范围R上的值
f(x1)-f(x2)=a*[a^x1-a^(-x1)]/(a^2-2)-a*[a^x2-a^(-x2)]/(a^2-2)
=[a/(a^2-2)]*[a^x1-a^(-x1)-a^x2+a^(-x2)]
=[a/(a^2-2)]*[(a^x1-a^x2)-(a^(-x1)-a^(-x2))]
=[a/(a^2-2)...

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按定义来:
取x1>x2是在范围R上的值
f(x1)-f(x2)=a*[a^x1-a^(-x1)]/(a^2-2)-a*[a^x2-a^(-x2)]/(a^2-2)
=[a/(a^2-2)]*[a^x1-a^(-x1)-a^x2+a^(-x2)]
=[a/(a^2-2)]*[(a^x1-a^x2)-(a^(-x1)-a^(-x2))]
=[a/(a^2-2)]*[(a^x1-a^x2)-(a^x2-a^x1)/a^(x1+x2)]
=[a/(a^2-2)]*[(a^x1-a^x2)(1+a^(-x1-x2))]
因为f(x)是增函数,所以也就是有[a/(a^2-2)]*[(a^x1-a^x2)(1+a^(-x1-x2))]这个式子是大于0的
又因为a>0,所以a*(1+a^(-x1-x2))>0是恒成立的
所以只要判断(a^x1-a^x2)/(a^2-2)>0
也就是a^x1>a^x2而且a^2>2;或者a^x1第1种情况;a^x1>a^x2,已经有x1>x2了,那么a>1的
a^2>2,那么a>根号2或者a<-根号2(舍去负值)
所以这种情况下,a>根号2
第2种情况:a^x1a^x1x2了，那么0a^2<2而且a>0的,那么0所以这种情况下,0所以综合两种情况来看就是a的范围是(0,1)∪(根号2,+∝)

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已知函数f(x)=x^2-x+a(a 已知函数F(x)={(4-a)X-a(X 已知函数f(x)=lnx+a/x,当a 已知函数f(x)=lnx+a/x,当a 已知函数f(x)=ex/x-a(a 已知函数f(x)=(2-a)x+1,x 已知函数f(x)=-x+3-3a(x 已知函数f x=(3-a)x+1 x 已知函数f(x)=x^2-a^x（0 已知函数f(x)=x^2,计算f(x+a)-f(a),并简化 已知二次函数f(x)=x*x+x+a(a>0),若f(m) 已知函数f(x)=x-in(x-a),求函数f(x)的单调区间 已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(a 已知函数f(x）在x=a处可导,且f已知函数f(x）在x=a处可导,f'(a)=a求limx→0f(2x-a)-f(2a-x)／x-a 已知函数f(x)=Asin(x+&)(A>0,0 已知函数f（x）=ax+㏑x（a 已知函数f(x)=ax-a/x-2lnx 已知函数fx)=lnx+a/x,若f(x)