已知函数f(x)=ax^3-3/2 x^2+1(x∈R),其中a大于0(I)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(II)若在区间[-1/2,1/2]上,f(x)＞0恒成立,求a的取值范围.

已知函数f(x)=ax^3-3/2 x^2+1(x∈R),其中a大于0(I)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(II)若在区间[-1/2,1/2]上,f(x)＞0恒成立,求a的取值范围.
已知函数f(x)=ax^3-3/2 x^2+1(x∈R),其中a大于0
(I)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(II)若在区间[-1/2,1/2]上,f(x)＞0恒成立,求a的取值范围.

已知函数f(x)=ax^3-3/2 x^2+1(x∈R),其中a大于0(I)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(II)若在区间[-1/2,1/2]上,f(x)＞0恒成立,求a的取值范围.
（1）f(x)=x^3-3/2 x^2+1; f `(x)=3x^2-3x; f `(2)=12-6=6; f(2)=8-6+1=3
所以切线方程为：y-3=6(x-2); 即：6x-y-9=0;
(2)f `(x)=3ax^2-3x=3ax(x-1/a);
当00; x∈(0,1/2),f `(x)0; a

(1) a=1 , f(x)=x^3-3/2x^2+1(x∈r), f(x)'=3x^2-3x
x=2 ,f(x)'=12-6=6 f（2）=3
切线方程为y=6x-9
（2）f(x)'=3ax^2-3x (a>0)
f(x)'=0 得 x=0 或 x=1/a
x在[-1/2,0] [1/a,∞）单增 [0...

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(1) a=1 , f(x)=x^3-3/2x^2+1(x∈r), f(x)'=3x^2-3x
x=2 ,f(x)'=12-6=6 f（2）=3
切线方程为y=6x-9
（2）f(x)'=3ax^2-3x (a>0)
f(x)'=0 得 x=0 或 x=1/a
x在[-1/2,0] [1/a,∞）单增 [0,1/a]单减
a≥2时 ，1/a≤1/2 f(x)最小值为f(1/a)或f(-1/2)
f(1/a)=1/a^2-3/2*1/a^2+1=1-1/2*1/a^2＞0 解得a＞2^½ ∴a≥2
f(-1/2)= -a/8-3/8+1=-a/8+5/8＞0 解得a＜5
∴2≤a＜5
0＜a＜2时 ，1/a＞1/2 f(x)最小值为f(1/2)或f(-1/2)
f(1/2)=a/8-3/8+1=a/8+5/8＞0 恒成立
f(-1/2)= -a/8-3/8+1=-a/8+5/8＞0 解得a＜5 ∴0＜a＜2
综上可得 a的取值范围 0＜a＜5

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1）∵f(x)=x^3-3/2 x^2+1; ∴f `(x)=3x^2-3x; ∴k=f `(2)=12-6=6; f(2)=8-6+1=3
所以切线方程为：y-3=6(x-2); 即：6x-y-9=0;
(2)f `(x)=3ax^2-3x=3ax(x-1/a);
①当0=1/2; x∈(-1/2,0),f `(x)>0; ...

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1）∵f(x)=x^3-3/2 x^2+1; ∴f `(x)=3x^2-3x; ∴k=f `(2)=12-6=6; f(2)=8-6+1=3
所以切线方程为：y-3=6(x-2); 即：6x-y-9=0;
(2)f `(x)=3ax^2-3x=3ax(x-1/a);
①当0=1/2; x∈(-1/2,0),f `(x)>0; x∈(0,1/2),f `(x)<0;
所以：f(x)在[-1/2,0]上是增函数；在[0,1/2]上是减函数；
又因为：f(-1/2)=-a/8+5/8< f(1/2)=a/8+5/8
所以f(x)在[-1/2,1/2]上的最小值为f(-1/2)=-a/8+5/8
在区间[-1/2，1/2]上，f(x)＞0恒成立;只需-a/8+5/8>0; a<5
所以当0②当a>2时，0<1/a<1/2,x∈(-1/2,0),f `(x)>0; x∈(0,1/a),f `(x)<0;
x∈(1/a,1/2),f `(x)>0;即：f(x)在[-1/2,0]递增；在[0,1/a]递减，在[1/a,1/2]递增；
且f(-1/2)=-a/8+5/8<5/8; f(1/a)=-1/(2a^2)+1>-1/8+1=7/8;
f(-1/2)在区间[-1/2，1/2]上，f(x)＞0恒成立;只需：-a/8+5/8>0; a<5
所以;2综上可得 ①②可知 a的取值范围 0＜a＜5

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