一道均值不等式求最值问题已知正数a,b,且4a^2+b^2=4,求y=√[a^2*(1+b^2)]的最大值答案是5/4,要有具体过程,希望答案对了再发过程,

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 15:22:07
一道均值不等式求最值问题已知正数a,b,且4a^2+b^2=4,求y=√[a^2*(1+b^2)]的最大值答案是5/4,要有具体过程,希望答案对了再发过程,
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一道均值不等式求最值问题已知正数a,b,且4a^2+b^2=4,求y=√[a^2*(1+b^2)]的最大值答案是5/4,要有具体过程,希望答案对了再发过程,
一道均值不等式求最值问题
已知正数a,b,且4a^2+b^2=4,求y=√[a^2*(1+b^2)]的最大值
答案是5/4,要有具体过程,希望答案对了再发过程,

一道均值不等式求最值问题已知正数a,b,且4a^2+b^2=4,求y=√[a^2*(1+b^2)]的最大值答案是5/4,要有具体过程,希望答案对了再发过程,
因为4a^2+b^2=4
所以4a^2+b^2+1=5
所以
5=4a^2+(b^2+1)≥2*√[4a^2*(b^2+1)]=4*√[a^2*(b^2+1)]
所以y=√[a^2*(1+b^2)]≤5/4
答案5/4

y=√[a^2*(1+b^2)]=y=√[a^2*(1+4-4a^2)]=y=√(5a^2-4a^4)
设a^2=x(x>0)
y=y=√(5x-4x^2),最大值为-(25/-4*4)=25/16,此时x=5/8>0,符合条件。
所以y的最大值为y=√(25/16)=5/4

主要依据不等式:[(a+b)/2]^2>=ab
[(4a^2+b^2+1)/2]^2>=4a^2*(b^2+1)
化简得
25/16>=a^2*(b^2+1)
可得出答案5/4

∵4a^2+b^2=4
∴5=4a^2+(b^2+1)≥2√[4a^2*(b^2+1)]=4√[a^2*(b^2+1)]
则y=√[a^2*(1+b^2)]≤5/4

4a^2+b^2=4
b^2=4-4a^2
y=√[a^2*(1+b^2)] 代入b^2=4-4a^2
得y=√[a^2*(1+4-4a^2)]
=√[5a^2-4a^4]
=√[-4(a^2-5/8)^2+4*(5/8)^2]
<=√4*(5/8)^2
=5/4

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