作业帮求证：根号2为无理数 求证：π为无理数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/05 15:20:45
求证：根号2为无理数 求证：π为无理数
求证：根号2为无理数 求证：π为无理数
求证：根号2为无理数 求证：π为无理数
求证：根号2为无理数
用反证法; 假设根号2是有理数,那么就有两个互素整数m,n使得
根号2=m/n
m=n*根号2
两边平方得
m平方=2n平方
m平方是偶数,从而m也是偶数,令m=2q,代入上式得
2q平方=n平方
于是n也是偶数.这与前面假设m,n互素矛盾
故根号2不可能是有理数.
π为无理数
假设∏是有理数,则∏=a/b,（a,b为自然数）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0
为方便书写，记根号2=x,假设x为有理数，则x=p/q，其中p.q互质
x^2=2=p^2/q^2
p^2=2q^2
p^2=(2^p1)*(3^p2)……
2q^2=(2^q1+1)*(3^q2)……
2p1是偶数，2q1+1是奇数，所以2p1≠2q1+1
推出矛盾，所以根号2是无理数
假设根号2是有理数,即可以表示为p/q ,p q 互质
则 根号2 * q =p
2q^2 = p
所以p 是偶数,用2k表示
2q^2 = 4k^2
那么 q^2 = 2k^2
那么 q也是偶数
这和p,q互质矛盾,所以 根号2无理
同样假设π有理, =p/q p,q互质
π...
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假设根号2是有理数,即可以表示为p/q ,p q 互质
则 根号2 * q =p
2q^2 = p
所以p 是偶数,用2k表示
2q^2 = 4k^2
那么 q^2 = 2k^2
那么 q也是偶数
这和p,q互质矛盾,所以 根号2无理
同样假设π有理, =p/q p,q互质
π*q =p
即p含有π的因子,设p=πk
有π * q = π^2 * k^2
q = π * k^2
所以q也含有π的因子,与p,q互质矛盾
所以π无理
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