作业帮如何证明圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一除测量外（说清楚的,+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++50）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 20:52:19
如何证明圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一除测量外（说清楚的,+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++50）
如何证明圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一
除测量外（说清楚的,+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++50）
如何证明圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一除测量外（说清楚的,+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++50）
用万能体积公式,V=1/6h＜S上+4S中+S下＞ h 为高 S上 为上底面积,S中 为中截面面积 ,S下 为底面积.
1.设圆锥的底面半径为R,所以S中=1/2R²π《三角形的两边中点的连线等于底边的1/2》
2.S下=πR².
3.S上=0《圆锥的上底面积为0》
带入公式得：V=1/6h＜0+4×1/2R²π+π×r²＞=1/6h＜3πR²＞=1/3hπR²《《πR²=S下》》
这是我自己的推导.有什么不懂还可以在来问.
积分。
不然用祖暅原理加一点几何直观的办法也可以。
会问这个问题的大概肯定不会微积分，所以我说一下用祖暅原理的想法。
祖暅原理指：等高处横截面积恒相等的两个立体，其体积也必然相等。严格证明其实还是要用微积分，不过这个比较直观，拿来用吧。
圆锥的横截面是一个圆，用几何关系不难推出截面圆的半径与截面与顶点距离h、圆锥高H及底面大圆半径R的关系（请自己画个图做），...
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积分。
不然用祖暅原理加一点几何直观的办法也可以。
会问这个问题的大概肯定不会微积分，所以我说一下用祖暅原理的想法。
祖暅原理指：等高处横截面积恒相等的两个立体，其体积也必然相等。严格证明其实还是要用微积分，不过这个比较直观，拿来用吧。
圆锥的横截面是一个圆，用几何关系不难推出截面圆的半径与截面与顶点距离h、圆锥高H及底面大圆半径R的关系（请自己画个图做），设它为r，则易见r = Rh/H。
于是看出r与高h是一次关系，故可以构造一个三棱锥，使它与圆锥等高且截面积与之相等。问题转化为求三棱锥体积。
三棱锥体积可以用割补的方法来证明，为了简单，还可以用祖暅原理化为求底为直角三角形的直棱锥，在立方体上进行割补。就不详细写了。
收起
用一个等底等高的圆柱和圆锥，用圆柱装一杯沙子，倒在圆锥里，三次可以倒完；用圆锥装土倒在圆柱里，到三次可以到满。由此说明圆锥是等底等高圆柱的体积的三分之一。
做实验