一道立体几何题[用向量法]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/03 09:01:39
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一道立体几何题[用向量法]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE
一道立体几何题[用向量法]
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE
一道立体几何题[用向量法]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE
如图,建立空间直角坐标系
设正方体的棱长为1
则D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),E(1/2,1,0)
设点P的坐标为(0,1,a)
∴向量A1B1=(0,1,0),向量A1P=(-1,1,a-1),向量DE=(1/2,1,0),向量DC1=(0,1,1)
设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)
则有:
{n1•A1B1=0
{n1•A1P=0
即有:
{y1=0
{-x1+y1+(a-1)z1=0
令z1=1,得x1=a-1
∴平面A1B1P的一个法向量为n1=(a-1,0,1)
设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)
则有:
{n2•DE=0
{n2•DC1=0
即有:
{1/2x2+y2=0
{y2+z2=0
∴x2=-2y2,z2=-y2
取y2=1,则得x2=-2,z2=-1
∴平面C1DE的一个法向量为n2=(-2,1,-1)
∵平面A1B1P⊥平面C1DE
∴n1⊥n2
即n1•n2=0
=>-2(a-1)-1=0
解得a=1/2
故当点P为CC1的中点时,平面A1B1P⊥平面C1DE
一道立体几何题[用向量法]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE
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