求证连续函数f(x)满足:∫(0到1)f(tx)dt=f(x)+xsinx

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/24 16:19:28
求证连续函数f(x)满足:∫(0到1)f(tx)dt=f(x)+xsinx
x){=߽igS7iTh>۽ŶV:Vk<`QRRb Ԯ(̫I*ҧ@~ (**T褀 ]glb`d]R U6ԯ(*k+ ,åE5\BPYbd F`e h A$,g<;PH

求证连续函数f(x)满足:∫(0到1)f(tx)dt=f(x)+xsinx
求证连续函数f(x)满足:∫(0到1)f(tx)dt=f(x)+xsinx

求证连续函数f(x)满足:∫(0到1)f(tx)dt=f(x)+xsinx
Let u = tx,du = x dt
L = ∫(0~1) ƒ[tx] dt
= [1/x]∫(0~x) ƒ[u] du = ƒ[x] + xsinx
∫(0~x) ƒ[u] du = xƒ[x] + x²sinx
ƒ[x] = xƒ'[x] + ƒ[x] + 2xsinx + x²cosx
ƒ'[x] = - 2sinx - xcosx
ƒ[x] = cosx - xsinx + C