已知双曲线C1过点P(4,根号6/2),且它的渐近线方程式x±2y=0求双曲线C1的方程设椭圆C2的中心在原点,它的短轴是双曲线C1的实轴,且C2中斜率为-4的弦的中点轨迹恰好是C1的一条渐近线截在C2内的部分

已知双曲线C1过点P(4,根号6/2),且它的渐近线方程式x±2y=0求双曲线C1的方程设椭圆C2的中心在原点,它的短轴是双曲线C1的实轴,且C2中斜率为-4的弦的中点轨迹恰好是C1的一条渐近线截在C2内的部分
已知双曲线C1过点P(4,根号6/2),且它的渐近线方程式x±2y=0
求双曲线C1的方程
设椭圆C2的中心在原点,它的短轴是双曲线C1的实轴,且C2中斜率为-4的弦的中点轨迹恰好是C1的一条渐近线截在C2内的部分,试求椭圆C2的方程.

已知双曲线C1过点P(4,根号6/2),且它的渐近线方程式x±2y=0求双曲线C1的方程设椭圆C2的中心在原点,它的短轴是双曲线C1的实轴,且C2中斜率为-4的弦的中点轨迹恰好是C1的一条渐近线截在C2内的部分
设C1的方程为x²-4y²=λ,
将点P(4,√6/2)代入,得λ=10,
所以双曲线C1的方程是x²-4y²=λ,即x²/10-y²/2.5=1.
由题意设椭圆C2的方程为x²/10+y²/a²=1,
设C2中斜率为-4的弦所在的直线方程为y=-4x+m,
弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
两式联立消去y,得(a²+160)x²-80mx+10m²-10a²=0,
则x1+x2=80m/(a²+160),AB的中点M的横坐标x0=40m/(a²+160),
代入y=-4x+m中,得M的纵坐标y0=a²m/(a²+160),
又点M在C1的渐近线x-2y=0上,
所以40m/(a²+160)-2a²m/(a²+160)=0,即a²=20,
故椭圆C2的方程是x²/10+y²/20=1.