设x1与x2分别是实系数二次方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的一个根,且x1≠0,x2≠0,求证:方程(a\2)x^2+bx+c=0必有一根介于x1和x2之间.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/28 12:55:54
![设x1与x2分别是实系数二次方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的一个根,且x1≠0,x2≠0,求证:方程(a\2)x^2+bx+c=0必有一根介于x1和x2之间.](/uploads/image/z/2492167-31-7.jpg?t=%E8%AE%BEx1%E4%B8%8Ex2%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AF%E5%AE%9E%E7%B3%BB%E6%95%B0%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8Bax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%E5%92%8C-ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%A0%B9%2C%E4%B8%94x1%E2%89%A00%2Cx2%E2%89%A00%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E6%96%B9%E7%A8%8B%28a%5C2%29x%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%E5%BF%85%E6%9C%89%E4%B8%80%E6%A0%B9%E4%BB%8B%E4%BA%8Ex1%E5%92%8Cx2%E4%B9%8B%E9%97%B4.)
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设x1与x2分别是实系数二次方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的一个根,且x1≠0,x2≠0,求证:方程(a\2)x^2+bx+c=0必有一根介于x1和x2之间.
设x1与x2分别是实系数二次方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的一个根,且x1≠0,x2≠0,
求证:方程(a\2)x^2+bx+c=0必有一根介于x1和x2之间.
设x1与x2分别是实系数二次方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的一个根,且x1≠0,x2≠0,求证:方程(a\2)x^2+bx+c=0必有一根介于x1和x2之间.
证明:分别把x1,x2带入方程得:
ax1²+bx1+c=0,
-ax2²+bx2+c=0
即bx1+c=-ax1² ,bx2+c=ax2²
所以f(x1)f(x2)=((a/2)x1²+bx1+c)·((a/2)x2²+bx2+c)
=((a/2)x1²- a x1²)·((a/2)x1²+ax2²)
=(-3a²/4)·(x1 x2)²
因为a≠0,x1,x2≠0
即(-3a²/4)(x1 x2)²<0
即f(x1)f(x2) <0
函数f(x)在两点x1,x2有:f(x1)f(x2)<0
所以得出:f(x1) <0且f(x2)>0 或f(x1) >0且f(x2) <0
可以得出函数f(x)在x1和x2之间,至少有一点交于X轴.
即可得出Δ=b²-2ac≥0
所以方程(a/2)x²+bx+c=0必有一根介于x1和x2之间