f(x)=px-q/x-2ln2.且f(e)=qe-p/e-2,(1) 求p与q的关系(2) 若f(x)在其定义域内位单调函数,求实数p的取值范围(3) 设g(x)=2e/x,若在(1,e)上至少存在一点x.,使得f(x.)>g(x.)成立,求实数p的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/15 05:38:35
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f(x)=px-q/x-2ln2.且f(e)=qe-p/e-2,(1) 求p与q的关系(2) 若f(x)在其定义域内位单调函数,求实数p的取值范围(3) 设g(x)=2e/x,若在(1,e)上至少存在一点x.,使得f(x.)>g(x.)成立,求实数p的取值范围
f(x)=px-q/x-2ln2.且f(e)=qe-p/e-2,
(1) 求p与q的关系
(2) 若f(x)在其定义域内位单调函数,求实数p的取值范围
(3) 设g(x)=2e/x,若在(1,e)上至少存在一点x.,使得f(x.)>g(x.)成立,求实数p的取值范围
f(x)=px-q/x-2ln2.且f(e)=qe-p/e-2,(1) 求p与q的关系(2) 若f(x)在其定义域内位单调函数,求实数p的取值范围(3) 设g(x)=2e/x,若在(1,e)上至少存在一点x.,使得f(x.)>g(x.)成立,求实数p的取值范围
解 (1)由题意,f(e)=pe-qe-2lne=qe-pe-2,
所以(p-q)(e+1e)=0,又e+1e≠0,所以p=q.
(2)由题意,函数的定义域为(0,+∞).
由(1)得f(x)=px-px-2ln x,则f’(x)=p+px 2-2x=px 2-2x+px 2.
令h(x)=px 2-2x+p.
当p=0时,h(x)=-2x<0,所以f’(x)=-2xx 2<0,
即f(x)在(0,+)内单调递减,符合题意;
当p>0时,h(x)=px 2-2x+p=p(x-1p)2+p-1p,
因为1p∈(0,+),所以h(x)min=p-1p≥0,解得p≥1;
当p<0时,h(x)=px 2-2x+p<0,所以f’(x)<0,
即f(x)在(0,+)内单调递减,符合题意.
综上所述,p的取值范围为(-,0]∪[1,+).
(3)因为g(x)=2ex是[1,e]上的减函数,所以g(x)∈[2,2e].
由题意,f(x)max>g(x)min.
当p≤0时,f(x)为[1,e]上的单调减函数,所以f(x)max=f(1)=0<2,不合题意;
当p≥1时,f(x)为[1,e]上的单调增函数,所以f(x)max=f(e)=p(e-1e)-2>2,
解得p>4ee2-1;
当0<p<1时,因为x∈[1,e],所以x-1x≥0,所以f(x)=p(x-1x)-2lnx<x-1x-2lnx,
记y=x-1x-2lnx,y’=1+1x2-2x=(1x-1)2≥0,故y=x-1x-2lnx为单调增函数,
所以f(x)<e-1e-2<2,不合题意;
综上所述,p的取值范围为(4ee2-1,+).