三角形ABC内接于圆O,BC=a,CA=b,角A-角B=90度,则圆O的面积为多少?

三角形ABC内接于圆O,BC=a,CA=b,角A-角B=90度,则圆O的面积为多少?
三角形ABC内接于圆O,BC=a,CA=b,角A-角B=90度,则圆O的面积为多少?

三角形ABC内接于圆O,BC=a,CA=b,角A-角B=90度,则圆O的面积为多少?
圆O的的圆心为o,
连接AO,CO,BO
设角ABC=q,圆O的半径为r
角CAB=90+q
角ACB=180-(q+90+q)=90-2q
角ABC所对的弧AC和圆心角AOC所对的弧是同一条弧,所以,角AOC=2q
同理,角AOB=2*角ACB=2*(90-2q)=180-4q
角COB=角AOB+角AOC=180-4q+2q=180-2q
根据正弦定理得:
sin角CAB/BC=sin角ABC/AC
sin(90+q)/a=sinq/b
cosq/a=sinq/b (1式)
而(sinq)^2+(cosq)^2=1
将(1)两边同时平方得:
(cosq)^2/a^2 = (sinq)^2/b^2
(cosq)^2/a^2=(1-(cosq)^2)/b^2
令(cosq)^2=t
t/a^2=(1-t)/b^2
tb^2=(1-t)a^2
tb^2+ta^2=1
t=1/(a^2+b^2)
cosq=根号[1/(a^2+b^2)] (2式)
角CBO=角BCO=180-(180-2q)/2=2q/2=q
根据正弦定理
sin角COB/BC=sin角BCO/BO
sin(180-2q)/a=sinq/r
sin2q/a=sinq/r,sin2q=2sinqcosq
2sinqcosq/a=sinq/r
r=a/2cosq
将(2式)代入上式得:
r=a/2cosq=a/根号[1/(a^2+b^2)] =a根号(a^2+b^2)
圆O的面积=pai*r^2=pai*[a根号(a^2+b^2)]^2=pai*a^2(a^2+b^2)