设n为正整数,证明:数2∧2∧n+2∧2∧(n-1)+1,至少有n个不同的质因子式子是2的(2的n次方)的次方,加上2的(2的n-1的次方)的次方,再加上1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/01 12:08:01
![设n为正整数,证明:数2∧2∧n+2∧2∧(n-1)+1,至少有n个不同的质因子式子是2的(2的n次方)的次方,加上2的(2的n-1的次方)的次方,再加上1](/uploads/image/z/2509584-24-4.jpg?t=%E8%AE%BEn%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E6%95%B02%E2%88%A72%E2%88%A7n%2B2%E2%88%A72%E2%88%A7%28n-1%29%2B1%2C%E8%87%B3%E5%B0%91%E6%9C%89n%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E8%B4%A8%E5%9B%A0%E5%AD%90%E5%BC%8F%E5%AD%90%E6%98%AF2%E7%9A%84%EF%BC%882%E7%9A%84n%E6%AC%A1%E6%96%B9%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%AC%A1%E6%96%B9%EF%BC%8C%E5%8A%A0%E4%B8%8A2%E7%9A%84%EF%BC%882%E7%9A%84n-1%E7%9A%84%E6%AC%A1%E6%96%B9%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%AC%A1%E6%96%B9%EF%BC%8C%E5%86%8D%E5%8A%A0%E4%B8%8A1)
设n为正整数,证明:数2∧2∧n+2∧2∧(n-1)+1,至少有n个不同的质因子式子是2的(2的n次方)的次方,加上2的(2的n-1的次方)的次方,再加上1
设n为正整数,证明:数2∧2∧n+2∧2∧(n-1)+1,至少有n个不同的质因子
式子是2的(2的n次方)的次方,加上2的(2的n-1的次方)的次方,再加上1
设n为正整数,证明:数2∧2∧n+2∧2∧(n-1)+1,至少有n个不同的质因子式子是2的(2的n次方)的次方,加上2的(2的n-1的次方)的次方,再加上1
设a(n) = 2^(2^n) + 2^(2^(n-1)) + 1,b(n) = 2^(2^n) - 2^(2^(n-1)) + 1,
则a(n) = 2^(2^n) + 2^(2^(n-1)) + 1
= 2^(2^n) + 2 * 2^(2^(n-1)) + 1 - 2^(2^(n-1))
= (2^(2^(n-1)) + 1)^2 - (2^(2^(n-2)))^2
= (2^(2^(n-1)) + 1 + 2^(2^(n-2)))*(2^(2^(n-1)) + 1 - 2^(2^(n-2)))
= a(n - 1) * b(n - 1).
故a(n) = a(n - 1) * b(n - 1)= a(n - 2) * b(n - 2) * b(n - 1)
= ...= a(1) * b(1) * b(2) * ...* b(n -1).
显然a(n) > 1,b(1),...,b(n - 1) > 1,所以a(1),b(1),...,b(n - 1)都有素因子.
因为a(n) - b(n) = 2 * 2^(2^(n-1)),
即a(1) * b(1) * b(2) * ...* b(n -1) - b(n) = 2 * 2^(2^(n-1)).
而a(1),b(1),...,b(n - 1),b(n)都是奇数,
故乘积a(1)b(1)...b(n - 1)与b(n)互素.
因此a(1),b(1),...,b(n - 1)中的每一个都与b(n)互素.
这说明对于{b(n)}中的任意两项b(k)与b(j),b(k)与b(j)都没有公共的素因子.
而且,{b(n)}中的每项b(k)与a(1)也都没有公共的素因子.
故a(1),b(1),...,b(n - 1)中任意两个所包含的素因子都是不同的.
所以,他们的乘积a(n) = a(1) * b(1) * b(2) * ...* b(n -1)至少包含n个不同的素因子.
原式= 2^2^n+√2 ^2^n +1 ( √2 是 根号2 )
=2^2^n+ 2√2 ^2^n +1 -√2 ^2^n
=(√2 ^2^n +1)^2 -√2 ^2^n
=[ √2 ^2^n +1 +√2 ^(2^n/2)][√2 ^2^n +1-√2 ^(2^n/2)]
显然:[ √2 ^2^n +1 -√2 ^(2^n/2)] “至...
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原式= 2^2^n+√2 ^2^n +1 ( √2 是 根号2 )
=2^2^n+ 2√2 ^2^n +1 -√2 ^2^n
=(√2 ^2^n +1)^2 -√2 ^2^n
=[ √2 ^2^n +1 +√2 ^(2^n/2)][√2 ^2^n +1-√2 ^(2^n/2)]
显然:[ √2 ^2^n +1 -√2 ^(2^n/2)] “至少”有一个 质因子,
[√2 ^2^n +1+√2 ^(2^n/2)] 可以继续用 完全平方公式 将 继续分解,因为√2 是 根号2,且原式要是整数 所以 只能分解 n-1 次,即:
[√2 ^2^n +1-√2 ^(2^n/2)] “至少”n-1 个质因子
所以原式“至少”有 (n-1)+1 =n 即 : n个质因子
收起
2∧2∧n+2∧2∧(n-1)+1
=2∧2∧(n-1)[2+1+1)
=2∧2∧n
只有2个不同的质因子 1,2,题目有错