已知a大于0,b大于0,a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)大于或等于25/4

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 09:43:04
已知a大于0,b大于0,a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)大于或等于25/4
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已知a大于0,b大于0,a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)大于或等于25/4
已知a大于0,b大于0,a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)大于或等于25/4

已知a大于0,b大于0,a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)大于或等于25/4
由均值不等式
a+b≥2√ab
ab≤1/4
证法一
(a+1/a)(b+1/b)
=(a^2+1)/a*(b^2+1)/b
=(a^2b^2+a^2+1+b^2)/ab
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab
=[a^2b^2+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)^2+1]/ab
(ab-1)^2+1≥25/16
0

(a+1/a)(b+1/b)
=ab+1/ab+a/b+b/a
>或=2+ab+1/ab-------此时取等号是a=b
由基本不等式有
a+b>或=2根号ab,所以ab<或=1/4
设g(x)=x+1/x,求导得在四分之一到正无穷的范围内,取到的最大值是g(1/4)=4+1/4-----------------------此时取等号是a=b
综上,...

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(a+1/a)(b+1/b)
=ab+1/ab+a/b+b/a
>或=2+ab+1/ab-------此时取等号是a=b
由基本不等式有
a+b>或=2根号ab,所以ab<或=1/4
设g(x)=x+1/x,求导得在四分之一到正无穷的范围内,取到的最大值是g(1/4)=4+1/4-----------------------此时取等号是a=b
综上,(a+1/a)(b+1/b)大于或等于2+4+1/4=25/4

收起

已知a=b,a大于0,b大于0,求证1=2 已知A大于B大于0,C大于D大于0,求证AC大于BD 已知a大于b大于0,求证e^a+1/e^a大于e^b+1/e^b 已知a大于b大于0,求证：a＋1／（a－b）b大于等于3 已知a大于0b大于0求证a+b大于等于2根号ab 已知a大于0,b大于0,且a+b=1,求证(a+a分之一1)(b+b分之一1)大于等于4分之25 已知a大于0,b大于0,a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)大于或等于25/4 已知:A大于0,B大于0,求证:A+9/A大于等于6 已知a大于0,求证b^2/a+a^/b大于等于a+b 已知a大于0,b大于0,a+b=1,求证:(1+1/a)*(1+1/b)大于等于9如题 已知a大于0、b大于0,且a+b=1,求证（1+1/a）（1+1/b）大于等于9 已知a大于0,b大于0,且a+b+c=1.求证1/a+1/b+1/c大于等于9 若a大于0b大于0a+b=1 求证a^4+b^4大于等于8 已知a大于0,b大于0,c大于0,求证bc/a + ac/b + ab/c 大于等于abc 已知a大于0,b大于0,求证a^ab^b大于等于（ab)^[(a+b)/2] 已知 a大于0 b 大于0 ,求证 a^3+b^2 大于等于 a^2b +ab^2 已知a,b均大于0,且a+b=1,求证（a+1/a）(b+1/b)大于等于25/4 已知a大于b大于c大于d大于0,a/b等于c/d.求证：a+d大于b+c