作业帮函数f（x）=（a+lnx）/x （a∈R）的极大值等于?已知函数f（x）=（a+lnx）/x （a∈R）,（1）求函数f（x）的极值?（2）若a>1,求证：存在x0属于(0,+无穷大),使得f(x0)>a?谢谢
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 09:02:36
函数f（x）=（a+lnx）/x （a∈R）的极大值等于?已知函数f（x）=（a+lnx）/x （a∈R）,（1）求函数f（x）的极值?（2）若a>1,求证：存在x0属于(0,+无穷大),使得f(x0)>a?谢谢
函数f（x）=（a+lnx）/x （a∈R）的极大值等于?
已知函数f（x）=（a+lnx）/x （a∈R）,
（1）求函数f（x）的极值?
（2）若a>1,求证：存在x0属于(0,+无穷大),使得f(x0)>a?
谢谢
函数f（x）=（a+lnx）/x （a∈R）的极大值等于?已知函数f（x）=（a+lnx）/x （a∈R）,（1）求函数f（x）的极值?（2）若a>1,求证：存在x0属于(0,+无穷大),使得f(x0)>a?谢谢
(1)∵函数f（x）=（a+lnx）/x （a∈R）
∴对函数求导得：f '（x）=【1-（a+lnx）】/x^2
令f '（x）=0 得 【1-（a+lnx）】/x^2=0
即 1-（a+lnx）=0
x=e^(1-a)
∴当 x=e^(1-a) 时
函数取得极小值f（x）=f[e^(1-a) ]=[a+lne^(1-a)]/e^(1-a)
=1/e^(1-a)=e^(a-1)
(2)∵ 函数f（x）=（a+lnx）/x （a∈R）
∴可得函数定义域为 x∈（0,+∞）
令g（x0）=f（x0）-a
∴ g（x0）=（a+lnx0）/x0-a ,x0∈（0,+∞）
∴ g ’（x0）=【1-（a+lnx0）】/x0^2
令g ’（x0）=0 得1-（a+lnx0）=0
∴ x0=e^(1-a）＞0
当x0=e^(1-a）时 在x0∈（0,+∞）上函数取得最小值
g【e^(1-a）】=e^(a-1）
又∵a>1
∴e^(a-1）＞0
即g（x0）=f（x0）-a＞0
∴ f（x0）＞a
求导。
∵f（x）=（a+lnx）/x （a∈R）
∴f '（x）=【1-（a+lnx）】/x^2
令f '（x）=0 得 【1-（a+lnx）】/x^2=0
则1-（a+lnx）=0
x=e^(1-a)
∴当 x=e^(1-a) 时
函数取得极小值f（min）=f[e^(1-a) ]=[a+ln...
全部展开
∵f（x）=（a+lnx）/x （a∈R）
∴f '（x）=【1-（a+lnx）】/x^2
令f '（x）=0 得 【1-（a+lnx）】/x^2=0
则1-（a+lnx）=0
x=e^(1-a)
∴当 x=e^(1-a) 时
函数取得极小值f（min）=f[e^(1-a) ]=[a+lne^(1-a)]/e^(1-a)
=1/e^(1-a)=e^(a-1)
∵ f（x）=（a+lnx）/x （a∈R）
∴定义域为 x∈（0，+∞）
令g（x0）=f（x0）-a
∴ g（x0）=（a+lnx0）/x0-a ， x0∈（0，+∞）
∴ g ’（x0）=【1-（a+lnx0）】/x0^2
令g ’（x0）=0 得1-（a+lnx0）=0
∴ x0=e^(1-a）＞0
当x0=e^(1-a）时，在x0∈（0，+∞）上可取得最小值
g【e^(1-a）】=e^(a-1）
又∵a>1
∴e^(a-1）＞0
则g（x0）=f（x0）-a＞0
∴ f（x0）＞a
收起