在三角形ABC中,角BAC=90°,D为三角形内一点,且AB=AC=BD,角ABD=30°,求证AD=DC,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 20:52:50
在三角形ABC中,角BAC=90°,D为三角形内一点,且AB=AC=BD,角ABD=30°,求证AD=DC,
在三角形ABC中,角BAC=90°,D为三角形内一点,且AB=AC=BD,角ABD=30°,求证AD=DC,
在三角形ABC中,角BAC=90°,D为三角形内一点,且AB=AC=BD,角ABD=30°,求证AD=DC,
证明:
以AC为边向△ABC外作等边三角形ACE,连接DE,交AC于F
因为AB=BD,且∠ABD=30°
所以∠BAD=∠BDA=75°
因为∠BAC=90°
所以∠CAD=15°
因为△ABC是等边三角形
所以∠CAE=60°,AE=AC=AB
所以∠EAD=∠BAD=75°
又因为AD=AD
所以△BAD≌△EAD(SAS)
所以∠AED=∠ABD=30°
所以∠AFE=90°
根据“三线合一”性质得DE平分AC
所以DE垂直平分AC
所以AD=DC
证明:AD=DC
因为,在三角形ABC中,角BAC=90°
所以,∠ABC=∠ACB=45°
又知,∠ABD=30° ,AB=BD
所以,∠BAD=60° ,∠ADB=60°
所以,∠ADC=120°,∠CAD=30°
所以,∠ACD=30°
又因为,∠ACD=30°,∠CAD=30°
所以,AD=DC
过D分别作DE垂直AB交AB于E点,DF垂直AC交AC于F点 在直角三角形BED中,因为角ABD=30°,得DE=BD/2=AB/2=AC/2 所以AF=DE=AC/2,即F点为AC的中点 所以DF为AC的垂直平分线 所以AD=DC
证明: 过D向AB作垂线,垂足为E,过D向AC作垂线,垂足为F。 因为AB=BD,所以三角形ABD为等腰三角形 因为角ABD=30,所以ED=1/2 BD=1/2 AB=1/2 AC 因为ED=AF,所以AF=1/2 AC,所以DF为AC的中垂线 由中垂线定理知,AD=DC (中垂线定理:中垂线上的一点到两端点距离相等)