高中绝对值不等式求助,abc均为实数a≠b,b≠c,a≠c求证:3/2≤(|a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b|)/(|a-b|+|b-c|+|c-a|)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 07:16:02
![高中绝对值不等式求助,abc均为实数a≠b,b≠c,a≠c求证:3/2≤(|a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b|)/(|a-b|+|b-c|+|c-a|)](/uploads/image/z/2524709-29-9.jpg?t=%E9%AB%98%E4%B8%AD%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E6%B1%82%E5%8A%A9%2Cabc%E5%9D%87%E4%B8%BA%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E2%89%A0b%2Cb%E2%89%A0c%2Ca%E2%89%A0c%E6%B1%82%E8%AF%81%3A3%2F2%E2%89%A4%28%7Ca%2Bb-2c%7C%2B%7Cb%2Bc-2a%7C%2B%7Cc%2Ba-2b%7C%29%2F%28%7Ca-b%7C%2B%7Cb-c%7C%2B%7Cc-a%7C%29)
高中绝对值不等式求助,abc均为实数a≠b,b≠c,a≠c求证:3/2≤(|a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b|)/(|a-b|+|b-c|+|c-a|)
高中绝对值不等式求助,abc均为实数a≠b,b≠c,a≠c
求证:3/2≤(|a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b|)/(|a-b|+|b-c|+|c-a|)<2
高中绝对值不等式求助,abc均为实数a≠b,b≠c,a≠c求证:3/2≤(|a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b|)/(|a-b|+|b-c|+|c-a|)
由绝对值不等式得:
|a+b-2c| ≤ |a-c|+|b-c|,|b+c-2a| ≤ |b-a|+|c-a|,|c+a-2b| ≤ |c-b|+|a-b|.
由a-b,b-c,c-a都不为0,其中至少有两个符号相同.
不妨设a-b与b-c同号,则a-b与c-b反号,|c+a-2b| < |c-b|+|a-b|.
因此三个不等号至少有1个是严格的.
相加得|a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b| < 2(|a-b|+|b-c|+|c-a|).
由|a-b|+|b-c|+|c-a| > 0,得(|a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b|)/(|a-b|+|b-c|+|c-a|) < 2.
仍由绝对值不等式得:
|a+b-2c|+|b+c-2a| ≥ |3a-3c| = 3|c-a|,|b+c-2a|+|c+a-2b| ≥ 3|a-b|,|c+a-2b|+|a+b-2c| ≥ 3|b-c|.
相加即得2(|a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b|) ≥ 3(|a-b|+|b-c|+|c-a|).
由|a-b|+|b-c|+|c-a| > 0,得(|a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b|)/(|a-b|+|b-c|+|c-a|) ≥ 3/2.
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