作业帮已知a,b,c是正实数,求证a^a*b^b*c^c大于等于（abc)^((a+b+c)/3)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 03:32:41
已知a,b,c是正实数,求证a^a*b^b*c^c大于等于（abc)^((a+b+c)/3)
已知a,b,c是正实数,求证a^a*b^b*c^c大于等于（abc)^((a+b+c)/3)
已知a,b,c是正实数,求证a^a*b^b*c^c大于等于（abc)^((a+b+c)/3)
1、如果a＞b,那么：a－b＞0,且（a/b）＞1,
∴此时（a/b）^（a－b）＞1.
2、如果a＝b,那么：a－b＝0,且（a/b）＝1,
∴此时（a/b）^（a－b）＝1.
3、如果a＜b,那么：b－a＞0,且（b/a）＞1,
∴此时（a/b）^（a－b）＝［（b/a）^（－1）］^［－（b－a）］＝（b/a）^（b－a）＞1.
∴无论a、b的大小如何,都有：（a/b）^（a－b）≥1,∴［（a/b）^a］/［（a/b）^b］≥1,
∴（a/b）^a≥（a/b）^b,∴a^a/b^a≥a^b/b^b,∴a^a×b^b≥a^b×b^a.
同理,有：a^a×c^c≥a^c×c^a, c^c×b^b≥c^b×b^c.
∴（a^a×b^b）（a^a×c^c）（c^c×b^b）≥（a^b×b^a）（a^c×c^a）（c^b×b^c）,
∴（a^a×b^b×c^c）^2≥a^（b＋c）×b^（a＋c）×c^（a＋b）,
∴（a^a×b^b×c^c）^3≥a^（a＋b＋c）×b^（a＋b＋c）×c^（a＋b＋c）＝（abc）^（a＋b＋c）
∴a^a×b^b×c^c≥√［（abc）^（a＋b＋c）］＝（abc）^［（a＋b＋c）/3］.
即：a^a×b^b×c^c≥（abc）^［（a＋b＋c）/3］.
我以前答过
两边取对数即证：
ln(a^a*lnb^b*lnc^c)>=((a+b+c)/3)ln(abc)
即：alna+blnb+clnc>=((a+b+c)/3)(lna+lnb+lnc)
可以随便假设一个排序设,a>b>c,则lna>lnb>lnc
由切比雪夫不等式直接得到结论。
补充：chebyshev不等式：
参考资料：http:...
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我以前答过
两边取对数即证：
ln(a^a*lnb^b*lnc^c)>=((a+b+c)/3)ln(abc)
即：alna+blnb+clnc>=((a+b+c)/3)(lna+lnb+lnc)
可以随便假设一个排序设,a>b>c,则lna>lnb>lnc
由切比雪夫不等式直接得到结论。
补充：chebyshev不等式：
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/190739981.html?fr=qrl&cid=83&index=5&fr2=query谢谢采纳！
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