3道高中基本不等式1.已知a、b、c∈R+,求证:a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca2.已知x、y∈R+,且x+2y=1,求证:xy≤八分之一,并指出等号成立的条件3.已知0<x<1,求当x取何值时,根号x(1-x)的最大值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 07:27:26
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3道高中基本不等式1.已知a、b、c∈R+,求证:a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca2.已知x、y∈R+,且x+2y=1,求证:xy≤八分之一,并指出等号成立的条件3.已知0<x<1,求当x取何值时,根号x(1-x)的最大值
3道高中基本不等式
1.已知a、b、c∈R+,求证:a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca
2.已知x、y∈R+,且x+2y=1,求证:xy≤八分之一,并指出等号成立的条件
3.已知0<x<1,求当x取何值时,根号x(1-x)的最大值
3道高中基本不等式1.已知a、b、c∈R+,求证:a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca2.已知x、y∈R+,且x+2y=1,求证:xy≤八分之一,并指出等号成立的条件3.已知0<x<1,求当x取何值时,根号x(1-x)的最大值
1.a+b≥2根号ab,
b+c≥2根号bc
a+c≥2根号ac
相加然后除以2得到上式
a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca
2.x+2y=1
x=1-2y
所以xy=y(1-2y)=y-2y^2
对称轴为x=1/4
因为0
证明:因为a+b>=2√ab
b+c>=2 √bc
c+a>=2 √ca
所以2(a+b+c)>=2(√ab +√bc + √ca)
即a+b+c>= (√ab +√bc + √ca)
a^2+b^2>=2ab
所以1=x+2y>=2根号(2xy)
8xy<=1
...
全部展开
证明:因为a+b>=2√ab
b+c>=2 √bc
c+a>=2 √ca
所以2(a+b+c)>=2(√ab +√bc + √ca)
即a+b+c>= (√ab +√bc + √ca)
a^2+b^2>=2ab
所以1=x+2y>=2根号(2xy)
8xy<=1
xy<=1/8
等号成立时, x=2y=1/2
设 y=√(x(1-x)), 则y^2=x(1-x) [x(1-x)>=0] 取最大值时 y取最大值。
y^2=-x^2+x
当 x=-b/(2a)=-1/(-2)=0.5 时
y^2=(4ac-b^2)/(4a)=1/4.
所以y的最大值为1/2
收起
1. 已知a、b、c∈R+,求证:a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca
a+b>=2√ab
b+c>=2√bc
c+a>=2√ca
全部相加得
2*(a+b+c)>=2*(√ab+√bc+√ca)
即a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca
2. 已知x、y∈R+,且x+2y=1,求证:xy≤八分之一,并指出等号成立的条件
x+2...
全部展开
1. 已知a、b、c∈R+,求证:a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca
a+b>=2√ab
b+c>=2√bc
c+a>=2√ca
全部相加得
2*(a+b+c)>=2*(√ab+√bc+√ca)
即a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca
2. 已知x、y∈R+,且x+2y=1,求证:xy≤八分之一,并指出等号成立的条件
x+2y=1
==>x=1-2y
xy=(1-2y)*y=-2y^2+y=-2(y^2-y/2)=-2[(y-1/4)^2-1/16]=-2(y-1/4)^2+1/8
由于(y-1/4)^2>=0 (当y=1/4时取等号)
故-(y-1/4)^2<=0
-2(y-1/4)^2+1/<=1/8
即xy≤八分之一(当y=1/4 x=-1/2时取等号)
3. 已知0<x<1,求当x取何值时,根号x(1-x)的最大值
根号x(1-x)
=根号(-x^2+x)
=根号[-(x^2-x)]
=根号[-(x-1/2)^2+1/4]
(x-1/2)^2>=0 (当x=1/2,满足0<x<1的条件,时取等号)
-(x-1/2)^2<=0
-(x-1/2)^2+1/4<=1/4 (当x=1/2,满足0<x<1的条件,时取等号)
故根号x(1-x)的最大值为
根号(1/4)=1/2
收起
1)a+b+c=(a/2+b/2)+(a/2+c/2)+(b/2+c/2).....再用不等式的公式
2)用不等式的公式,很常规的题
3)求导
1. a+b≥2*根号ab① a+c≥2*根号ac② b+c≥2*根号bc③
1/2(①+②+③)可得
2. x+2y=1≥2根号(x*2y)
x*2y≤(1/2)²
3. 2*根号x*(1-x)≤[x+(1-x)]²
x=1-x时取等,x=0.5