3道高中基本不等式1.已知a、b、c∈R+,求证：a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca2.已知x、y∈R+,且x+2y=1,求证：xy≤八分之一,并指出等号成立的条件3.已知0＜x＜1,求当x取何值时,根号x（1-x）的最大值

3道高中基本不等式1.已知a、b、c∈R+,求证：a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca2.已知x、y∈R+,且x+2y=1,求证：xy≤八分之一,并指出等号成立的条件3.已知0＜x＜1,求当x取何值时,根号x（1-x）的最大值
3道高中基本不等式
1.已知a、b、c∈R+,求证：a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca
2.已知x、y∈R+,且x+2y=1,求证：xy≤八分之一,并指出等号成立的条件
3.已知0＜x＜1,求当x取何值时,根号x（1-x）的最大值

3道高中基本不等式1.已知a、b、c∈R+,求证：a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca2.已知x、y∈R+,且x+2y=1,求证：xy≤八分之一,并指出等号成立的条件3.已知0＜x＜1,求当x取何值时,根号x（1-x）的最大值
1.a+b≥2根号ab,
b+c≥2根号bc
a+c≥2根号ac
相加然后除以2得到上式
a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca
2.x+2y=1
x=1-2y
所以xy=y（1-2y）=y-2y^2
对称轴为x=1/4
因为0

证明：因为a+b>=2√ab
b+c>=2 √bc
c+a>=2 √ca
所以2（a＋b＋c）>=2(√ab +√bc + √ca)
即a＋b＋c>= (√ab +√bc + √ca)
a^2+b^2>=2ab
所以1=x+2y>=2根号(2xy)
8xy<=1
...

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证明：因为a+b>=2√ab
b+c>=2 √bc
c+a>=2 √ca
所以2（a＋b＋c）>=2(√ab +√bc + √ca)
即a＋b＋c>= (√ab +√bc + √ca)
a^2+b^2>=2ab
所以1=x+2y>=2根号(2xy)
8xy<=1
xy<=1/8
等号成立时, x=2y=1/2
设 y=√(x(1-x)), 则y^2=x(1-x) [x(1-x)>=0] 取最大值时 y取最大值。
y^2=-x^2+x
当 x=-b/(2a)=-1/(-2)=0.5 时
y^2=(4ac-b^2)/(4a)=1/4.
所以y的最大值为1/2

收起

1. 已知a、b、c∈R+，求证：a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca
a+b>=2√ab
b+c>=2√bc
c+a>=2√ca
全部相加得
2*（a+b+c）>=2*(√ab+√bc+√ca)
即a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca
2. 已知x、y∈R+，且x+2y=1,求证：xy≤八分之一，并指出等号成立的条件
x+2...

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1. 已知a、b、c∈R+，求证：a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca
a+b>=2√ab
b+c>=2√bc
c+a>=2√ca
全部相加得
2*（a+b+c）>=2*(√ab+√bc+√ca)
即a+b+c≥根号ab+根号bc+根号ca
2. 已知x、y∈R+，且x+2y=1,求证：xy≤八分之一，并指出等号成立的条件
x+2y=1
==>x=1-2y
xy=(1-2y)*y=-2y^2+y=-2(y^2-y/2)=-2[(y-1/4)^2-1/16]=-2(y-1/4)^2+1/8
由于(y-1/4)^2>=0 (当y=1/4时取等号)
故-(y-1/4)^2<=0
-2(y-1/4)^2+1/<=1/8
即xy≤八分之一(当y=1/4 x=-1/2时取等号)
3. 已知0＜x＜1，求当x取何值时，根号x（1-x）的最大值
根号x（1-x）
=根号（-x^2+x）
=根号[-（x^2-x）]
=根号[-（x-1/2）^2+1/4]
（x-1/2）^2>=0 (当x=1/2,满足0＜x＜1的条件，时取等号)
-（x-1/2）^2<=0
-（x-1/2）^2+1/4<=1/4 (当x=1/2,满足0＜x＜1的条件，时取等号)
故根号x（1-x）的最大值为
根号（1/4）=1/2

收起

1）a+b+c=(a/2+b/2)+(a/2+c/2)+(b/2+c/2).....再用不等式的公式
2）用不等式的公式，很常规的题
3）求导

1. a+b≥2*根号ab① a+c≥2*根号ac② b+c≥2*根号bc③
1/2(①+②+③)可得
2. x+2y=1≥2根号（x*2y）
x*2y≤(1/2)²
3. 2*根号x*（1-x）≤[x+（1-x）]²
x=1-x时取等，x=0.5