作业帮在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a^2+c^2-b^2=(1/2)ac.求[sin(A+C)/2]^2+cos2B的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/25 19:20:09
![在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a^2+c^2-b^2=(1/2)ac.求[sin(A+C)/2]^2+cos2B的值.](/uploads/image/z/2534246-62-6.jpg?t=%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2C%E8%A7%92A%2CB%2CC%E6%89%80%E5%AF%B9%E7%9A%84%E8%BE%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFa%2Cb%2Cc%2C%E4%B8%94a%5E2%2Bc%5E2-b%5E2%3D%281%2F2%29ac.%E6%B1%82%5Bsin%28A%2BC%29%2F2%5D%5E2%2Bcos2B%E7%9A%84%E5%80%BC.)
在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a^2+c^2-b^2=(1/2)ac.求[sin(A+C)/2]^2+cos2B的值.
在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a^2+c^2-b^2=(1/2)ac.求[sin(A+C)/2]^2+cos2B的值.
在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a^2+c^2-b^2=(1/2)ac.求[sin(A+C)/2]^2+cos2B的值.
a^2+c^2-b^2=(1/2)ac.
所以cosB=( a^2+c^2-b^2)/( 2ac)=1/4.
[sin(A+C)/2]^2+cos2B
=[cos (B /2)]^2+cos2B
=(1+ cos B)/2+2 cos^2B-1
=5/8+1/8-1=-1/4.
a^2+c^2-b^2=(1/2)ac
b^2=a^2+c^2-bc/2
余弦定理：b^2=a^2+c^2-2bccosB
两式相减：bc/2=2bccosB
cosB=1/4
[sin(A+C)/2]^2+cos2B
=[1-cos(A+C)]/2+cos2B
=1/2+cosB/2+2(cosB)^2-1
=1/2+1/8+2*(1/4)^2-1
=-1/4
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac==(1/2)ac/2ac=1/4
[sin(A+C)/2]^2+cos2B=cos^B/2+cos2B=1/2(cosB+1)+2cos^B-1=--1/4
用余弦定理
根据余弦公式，cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,又a^2+c^2-b^2=(1/2)ac，所以cosB=1/4,又角B是三角形的内角，所以角B是锐角，所以sin(A+C)=sinB=√(1-cosB^2)=√[1-(1/4)^2]=(√15)/4,cos2B=(2cosB^2)-1,所以[sin(A+C)/2]^2+cos2B={[(√15)/4]/2}^2+2×(1/4)^2-1=1/16
由余弦定理2cosB=1\2 cosB为1\4 角b+a+c=180度sin(a+c)=sinb=根号15\3 cos2b为2sinbcosb即根号15\6
所以原式为（5+根号15.）\12