用数学归纳法证明n(n+1)(n+2)能被3整除

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/01 11:18:16
用数学归纳法证明n(n+1)(n+2)能被3整除
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用数学归纳法证明n(n+1)(n+2)能被3整除
用数学归纳法证明n(n+1)(n+2)能被3整除

用数学归纳法证明n(n+1)(n+2)能被3整除
n=1,n(n+1)(n+2)=1*2*3=6,显然成立
假设n=k时,k(k+1)(k+2)能被3整除
当n=k+1时,
n(n+1)(n+2)
=（k+1)(k+2)(k+3)
=k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2),
由假设知：式中第一项k(k+1)(k+2)能被3整除,
第二项3(k+1)(k+2)也能被3整除
所以当n=k+1时,
n(n+1)(n+2)
=（k+1)(k+2)(k+3)能被3整除
综上可知,n(n+1)(n+2)能被3整除

只需证明n，n+1，n+2中有一个能被3整除
n=1时，n+2=3，显然;
假设当n=k时，k,k+1,k+2中有一个能被3整除
(1)若k能被3整除，则k+3能被3整除
当n=k+1时,k+1,k+2,k+3中的k+3能被3整除
(2)若k不能被3整除，由归纳假设k+1,k+2中有一个能被3整除
此时当n=k+1时命题也成立
...

全部展开

只需证明n，n+1，n+2中有一个能被3整除
n=1时，n+2=3，显然;
假设当n=k时，k,k+1,k+2中有一个能被3整除
(1)若k能被3整除，则k+3能被3整除
当n=k+1时,k+1,k+2,k+3中的k+3能被3整除
(2)若k不能被3整除，由归纳假设k+1,k+2中有一个能被3整除
此时当n=k+1时命题也成立
综上可知，n，n+1，n+2中有一个能被3整除
故 n(n+1)(n+2)能被3整除

收起

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