已知函数f(x)=ax²+2x-a,若对任意a∈[-1,1],f(x)>0恒成立,求x的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 01:15:13
![已知函数f(x)=ax²+2x-a,若对任意a∈[-1,1],f(x)>0恒成立,求x的取值范围](/uploads/image/z/2536263-63-3.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dax%26%23178%3B%2B2x-a%2C%E8%8B%A5%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8Fa%E2%88%88%5B-1%2C1%5D%2Cf%28x%29%3E0%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E6%B1%82x%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4)
xUrI~+[ZI-a(p֖3jLvj&t%+V
IC\
=
HHYUTp&[x؏OS^oȫcx횋Etݜeͅ?C]c6".5^ǰ4|Gt&
G{zW{z9.~Kqq֭j^`t mܮ .|NrbME&]7Ȥ]*α~`'5j&[[PEY.3~4Rb,~vat= {.2Q\-9GaBwI,$6vAO&zmVR27RD=O\QDr~>safT&O+^ f~J3'~Y*Se%xqP<H!) %^B1 _eV\DA^
'E(%vI-^R4
k"I-⠖gc y..D/_0-G$1_|2pf
fmIU
.eT2UX~!2==g}&ɴνJ
qPK$y,0-'~ st\kl5nX/J֛*27
~^C]5wA :7zzMi.R
t"
Q:}P/>|NVP Y~|~$Rɒ%\~N_qu[(kOXgL[#LFpHT#kw0UvRiİ~Jǫi=ug\s7Բ9|H
已知函数f(x)=ax²+2x-a,若对任意a∈[-1,1],f(x)>0恒成立,求x的取值范围
已知函数f(x)=ax²+2x-a,若对任意a∈[-1,1],f(x)>0恒成立,求x的取值范围
已知函数f(x)=ax²+2x-a,若对任意a∈[-1,1],f(x)>0恒成立,求x的取值范围
f(x)=ax²+2x-a
这个函数可以看成是关于a的一次函数,即:
g(a)=(x²-1)a+2x
这个函数的图像是一条直线,要使得此直线在[-1,1]上满足:g(a)>0,只要:
g(-1)>0且g(1)>0就可以了,得:
g(-1)=-x²+2x+1>0、g(1)=x²+2x-1>0
x²-2x-1<0且x²+2x-1>0
得:-1+√2
根据图象可知,我们只需要考虑x∈[0,π/2 (1)根据图象可知,我们只需要考虑x∈[0,π /2 ),
),此时g(x)=ax-sinx,利用导数工具,求导g′(x)=a-cosx,再对a值进行分类讨论研究函数g(x)的单调性,从而求出实数a的取值范围;
此时g(x)=ax-sinx
所以g′(x)=a-cosx
当a≥1时,g′(x)≥0,易知函数g(x)单调增,
从而g(x)≥g(0)=0,符合题意;
当a≤0,g′(x)<0,函数g(x)单调减,从而g(x)≤g(0)=0,不符合题意;
当0<a<1时,显然存在x0∈[0,π/ 2 ),使得g′(x)=0,且x∈[0,x0)时函数g(x)单调减,
从而g(x)≤g(0)=0,不符合题意.
综上讨论知a≥1.
收起