作业帮数学证明绝对值不等式a、b属于R,且a不等于b,f(x)=√(1+x^2),求证:|f(a)-f(b)|
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 13:27:46
数学证明绝对值不等式a、b属于R,且a不等于b,f(x)=√(1+x^2),求证:|f(a)-f(b)|
数学证明绝对值不等式
a、b属于R,且a不等于b,f(x)=√(1+x^2),求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|
求详细解答,注 本人才刚开始学这章,新手,谢拉!
数学证明绝对值不等式a、b属于R,且a不等于b,f(x)=√(1+x^2),求证:|f(a)-f(b)|
方法1：设向量x=(1,a),向量y=(1,b)则利用不等式||x|-|y||<|x-y|即可（实际上这种方法和几何方法一样）
方法2：(求导)|df(x)/dx|=|x/√(1+x^2)|<1,由导数意义知道：:|f(a)-f(b)|<|a-b|
方法3：（分析法）即证1-根号下（（1+a^2）(1+b^2)）<-ab即证：2ab
a、b属于R,且a不等于b,f(x)=√(1+x^2)
|f(a)-f(b)|=|√(1+a^2)-√(1+b^2)|
平方
=1+a^2+1+b^2-2*√1+a^2*b^2+a^2+b^2
因为a^2+b^2-2ab=（a-b）^2>0(a不等于b)
即a^2+b^2>2ab
<2+a^2+b^2-2*√(1+a^2*b^2+2*a*b)=2+...
全部展开
a、b属于R,且a不等于b,f(x)=√(1+x^2)
|f(a)-f(b)|=|√(1+a^2)-√(1+b^2)|
平方
=1+a^2+1+b^2-2*√1+a^2*b^2+a^2+b^2
因为a^2+b^2-2ab=（a-b）^2>0(a不等于b)
即a^2+b^2>2ab
<2+a^2+b^2-2*√(1+a^2*b^2+2*a*b)=2+a^2+b^2-2*(1+ab)
=(a-b)^2
所以
|f(a)-f(b)|<|a-b|
收起
|f(a)-f(b)|=|√(1+a^2)-√(1+b^2)|
=|(a^2-b^2)/(√(1+a^2)+√(1+b^2))| (分子有理化)
=|a-b||(a+b)/(√(1+a^2)+√(1+b^2))|
因为a<√(1+a^2) b<√(1+b^2)
所以|(a+b)/(√(1+a^2)+√(1+b^2))|<1
即得|f(a)-f(b)|<|a-b|