作业帮函数f(x)=log 底数是 a真数是(x+根号下x^2+1(a>0且a不等于1)是奇函数的证明!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 15:36:49
函数f(x)=log 底数是 a真数是(x+根号下x^2+1(a>0且a不等于1)是奇函数的证明!
函数f(x)=log 底数是 a真数是(x+根号下x^2+1(a>0且a不等于1)是奇函数的证明!
函数f(x)=log 底数是 a真数是(x+根号下x^2+1(a>0且a不等于1)是奇函数的证明!
f(x)=log(x+√x^2+1)的定义域R
f(-x)=log(-x+√x^2+1)
=log(-x+√x^2+1)((x+√x^2+1)/(x+√x^2+1)
=log[1/(x+√x^2+1)]
=-log(x+√x^2+1)
=-f(x)
f(x)是奇函数
证明：
∵定义域x+√(x^2+1)≥0
即x^2+1≥x^2
∴x可取任意实数。
∵f(-x)=loga(-x+√(x^2+1)
=loga[√(x^2+1)+x]^(-1)
=-loga[√(x^2+1)+x]
=-f(x)
∴f(-x)=-f(x)
∴函数f(x)为奇函数。
∵f(x)=loga[x+√(x^2+1)]
∴f(-x)=loga[-x+√(x^2+1)]
= loga{[-x+√(x^2+1)][-x-√(x^2+1)]/[-x-√(x^2+1)]}
= loga{-1/[-x-√(x^2+1)]}
= loga{1/[x+√(x^2+1)]}
=-loga[x+√(x^2+1)]
=-f(x)
∴ f(x)是奇函数
证明：{-x+根号【（-x)^2+1]}*[x+根号（x^2+1)]=[-x+根号（x^2+1)][x+根号(x^2+1)]=(x^2+1)-x^2=1
∴{-x+根号[(-x)^2+1]}=[x+根号(x^2+1)]^(-1)
∴f(-x)=loga {-x+根号[(-x)^2+1]}=loga [x+根号（x^2+1)]^(-1)=-loga [x+根号(x^2+1)]=-f(x)
∴奇函数