作业帮f（x）是定义域在R上的偶函数满足 对任意x属于R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立,且f（-5）＝-1.则f（2009）＝多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 17:33:00
f（x）是定义域在R上的偶函数满足 对任意x属于R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立,且f（-5）＝-1.则f（2009）＝多少?
f（x）是定义域在R上的偶函数满足 对任意x属于R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立,且f（-5）＝-1.则f（2009）＝多少?
f（x）是定义域在R上的偶函数满足 对任意x属于R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立,且f（-5）＝-1.则f（2009）＝多少?
∵f(x+6)=f(x)+f(3）
∴f(-3+6)=f(-3)+f(3）
即f(3)=f(-3)+f(3)
又f(x)是R上的偶函数
∴f(-3)=f(3)
∴f(3)=f(3)+f(3)=2f(3)
∴f(3)=0
∴f(x+6)=f(x)
f(x)是周期为6的周期函数
∴f(2009)= f（2003）+0=f（2003）=f（1997）=……=f（5）=-1
由题意，（1）因为y=f（x）是R上的偶函数，所以f（x）=f（-x），因为f（x+6）=f（x）+f（3），
所以f（-x+6）=f（-x）+f（3）=f（x）+3=f（x+6），所以f（x）关于x=6对称，
因为f（6-x）=f（6+x），所以f（-x）=f（x+12）=f（x），所以f（x）是以12为周期的函数，
∴f（2009）=f（5）=f（-5）=-1
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由题意，（1）因为y=f（x）是R上的偶函数，所以f（x）=f（-x），因为f（x+6）=f（x）+f（3），
所以f（-x+6）=f（-x）+f（3）=f（x）+3=f（x+6），所以f（x）关于x=6对称，
因为f（6-x）=f（6+x），所以f（-x）=f（x+12）=f（x），所以f（x）是以12为周期的函数，
∴f（2009）=f（5）=f（-5）=-1
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