f(x)是定义域在R上的偶函数满足 对任意x属于R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,且f(-5)=-1.则f(2009)=多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/26 06:12:43
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f(x)是定义域在R上的偶函数满足 对任意x属于R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,且f(-5)=-1.则f(2009)=多少?
f(x)是定义域在R上的偶函数满足 对任意x属于R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,且f(-5)=-1.则f(2009)=多少?
f(x)是定义域在R上的偶函数满足 对任意x属于R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,且f(-5)=-1.则f(2009)=多少?
∵f(x+6)=f(x)+f(3)
∴f(-3+6)=f(-3)+f(3)
即f(3)=f(-3)+f(3)
又f(x)是R上的偶函数
∴f(-3)=f(3)
∴f(3)=f(3)+f(3)=2f(3)
∴f(3)=0
∴f(x+6)=f(x)
f(x)是周期为6的周期函数
∴f(2009)= f(2003)+0=f(2003)=f(1997)=……=f(5)=-1
由题意,(1)因为y=f(x)是R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),因为f(x+6)=f(x)+f(3),
所以f(-x+6)=f(-x)+f(3)=f(x)+3=f(x+6),所以f(x)关于x=6对称,
因为f(6-x)=f(6+x),所以f(-x)=f(x+12)=f(x),所以f(x)是以12为周期的函数,
∴f(2009)=f(5)=f(-5)=-1
...
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由题意,(1)因为y=f(x)是R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),因为f(x+6)=f(x)+f(3),
所以f(-x+6)=f(-x)+f(3)=f(x)+3=f(x+6),所以f(x)关于x=6对称,
因为f(6-x)=f(6+x),所以f(-x)=f(x+12)=f(x),所以f(x)是以12为周期的函数,
∴f(2009)=f(5)=f(-5)=-1
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