设x,y是正实数,且x+y=1,则x2/x+2 +y2/y+1的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/28 01:28:54
设x,y是正实数,且x+y=1,则x2/x+2 +y2/y+1的最小值
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设x,y是正实数,且x+y=1,则x2/x+2 +y2/y+1的最小值
设x,y是正实数,且x+y=1,则x2/x+2 +y2/y+1的最小值

设x,y是正实数,且x+y=1,则x2/x+2 +y2/y+1的最小值
x²/(x+2)+y²/(y+1)
=(x²-4+4)/(x+2)+(y²-1+1/(y+1)
=x-2+y-1+4/(x+2)+1/(y+1) 把x+y=1带入有
=4/(x+2)+1/(2-x)-2
=(10-3x)/(4-x²)-2
设h(x)=(10-3x)/(4-x²),对函数求导得:h '(x)=(-3x²+20x-12)/(4-x²)².
可得当x=2/3时导数为零,(0,2/3)为单调减区间,(2/3,1)为单调增区间.
所以x=2/3时,h(x)取最小值,此时x²/(x+2)+y²/(y+1)也为最小值.
计算可得min=1/4.▅