已知直线y=kx+1与双曲线3x^2-y^2=1相交A,B两点,是否存在实数k,使A,B两点关于x-2y=0对称

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 01:39:53
已知直线y=kx+1与双曲线3x^2-y^2=1相交A,B两点,是否存在实数k,使A,B两点关于x-2y=0对称
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已知直线y=kx+1与双曲线3x^2-y^2=1相交A,B两点,是否存在实数k,使A,B两点关于x-2y=0对称
已知直线y=kx+1与双曲线3x^2-y^2=1相交A,B两点,是否存在实数k,使A,B两点关于x-2y=0对称

已知直线y=kx+1与双曲线3x^2-y^2=1相交A,B两点,是否存在实数k,使A,B两点关于x-2y=0对称
将y=kx+1
与3x^2-y^2=1
联立可得
3x^2-(kx+1)^2=1
(3-k^2)x^2-2kx-k-1=0
即(k^2-3)x^2+2kx+k+1=0
设A坐标为(x1,y1),B坐标为(x2,y2)
则x1+x2=2k/(3-k^2)
所以y1+y2
=kx1+1+kx2+1
=k(x1+x2)+2
=2k^2/(3-k^2)+2
故AB的中点坐标为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2],因为中点在x-2y=0上
故k/(3-k^2)-2[k^2/(3-k^2)+1]=0
解得k=6
即存在实数k,当k=6时,可以使A,B两点关于x-2y=0对称
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